結石

与えられた関数は極小点を持っていますが、確かに極大点を持っていません。与えられた関数は次のとおりです。f（x）=（x ^ 3-4x ^ 2-3）/（8x-4）微分すると、f '（x）=（4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6）/ （4 *（2x-1）^ 2）臨界点については、f '（x）= 0と設定する必要があります。（4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6）/（4 *（2x-1） ）^ 2）= 0はx ~~ -0.440489を意味しますこれは極値のポイントです。関数がこの特定の値で最大値または最小値に達するかどうかを確認するために、二次微分検定を行うことができます。 f ''（x）=（4x ^ 3-6x ^ 2 + 3x-16）/（2 *（2x-1）^ 3）f ''（ - 0.44）> 0この点で2次導関数は正であるのでこれは、関数がその点で最小点に達することを意味します。 続きを読む »

この関数の1つの実数臨界点は、約-9.01844です。この時点で極小値が発生します。商の法則により、この関数の導関数はf '（x）=（（x + 6）* 3x ^ 2-（x ^ 3-3）* 1）/（（x + 6）^ 2）=（ 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3）/（（x + 6）^ 2）この関数は、2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0の場合に限りゼロになります。この立方体の根は、負の無理数（実数）と2つの複素数を含みます。実際のルートはx約-9.01844です。これよりも小さい数をf 'に差し込むと負の出力が得られ、これより少し大きい数をf'に差し込むと正の出力が得られます。したがって、この臨界点は極小値fを与えます（そしてf（-9.01844）約244が極小値（出力）です。 続きを読む »

（0.14414、0.05271）は極大値（1.45035、0.00119）であり、（ - 1.59449、-1947.21451）は極小値です。 。 f（x）= y = xe ^（x ^ 3-7x）dy / dx = x（3x ^ 2-7）e ^（x ^ 3-7x）+ e ^（x ^ 3-7x）= e ^ （x ^ 3-7x）（3x ^ 3-7x + 1）= 0 e ^（x ^ 3-7x）= 0、：。 1 / e ^（7x-x ^ 3）= 0、：。 e ^（7x-x ^ 3）= - oo、：。 x = ooこれは局所極値としては認められません。 3x ^ 3-7x + 1 = 0この3次関数の根を解くには、ニュートンラプソン法を使用します。x_（n + 1）= x_n-f（x_x）/（f '（x_n））関数の根本に近づき、近づくための反復プロセス。ここでは長いプロセスを含めずに、最初の根にたどり着いたので、長除算を実行し、残りの2次式を他の2つの根について簡単に解くことができます。次のルートが得られます。x = 0.14414、1.45035、および-1.59449ここで一次微分テストを実行し、微分が正または負の位置を確認するために各根の左右の値を試します。これはどの点が最大でどの点が最小であるかを教えてくれます。結果は次のようになります。（0.14414、0.05271）は極大値（1.45035、0.00119）で、（ - 1. 続きを読む »

F_min = f（1）= 0 f_max = f（e ^（ - 2））約0.541 f（x）=（xlnx）^ 2 / x =（x ^ 2 *（lnx）^ 2）/ x = x（ lnx）^ 2積則f '（x）= x * 2lnx * 1 / x +（lnx）^ 2 * 1 =（lnx）^ 2 + 2lnxを適用する極大値または極小値の場合：f'（x）= 0 z = lnxとします。 z ^ 2 + 2z = 0 z（z + 2）= 0 - > z = 0またはz = -2したがって、極大値または極小値に対して：lnx = 0またはlnx = -2：.x = 1またはx = e ^ -2約0.135次に、x（lnx）^ 2のグラフを見てください。 graph {x（lnx）^ 2 [-2.566、5.23、-1.028、2.87]}単純化されたf（x）はx = 1で極小値を持ち、（0、0.25）でxで極大値を持つことがわかります。 ：f_min = f（1）= 0、f_max = f（e ^（ - 2））約0.541 続きを読む »

X = 0で極大値が得られます。f（x）= - 2x ^ 2 + 9、f '（x）= - 4 x x = 0の場合、f'（x）= 0であるため、xで局所極値があります。 = -9 / 4さらに、f ''（x）= - 4、したがってx = 0では、x = 0のグラフで最大値が得られます{-2x ^ 2 + 9 [-5、5、-10、10]。 } 続きを読む »

極値はありません。局所的極値は、f '= 0のとき、およびf'が正から負へ、またはその逆に切り替わったときに発生する可能性があります。 f（x）= x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x f '（x）= - x ^ -2 - （ - 3x ^ -4）+ 5x ^ 4-1 x ^ 4による乗算/ x ^ 4：f '（x）=（ - x ^ 2 + 3 + 5x ^ 8-x ^ 4）/ x ^ 4 =（5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3）/ x ^ 4 f '= 0の場合、極値が発生する可能性があります。これが代数的に起こるときは解くことができないので、グラフf '：f'（x）：graph {（5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3）/ x ^ 4 [-5、5、 -10.93、55]} f 'にゼロはありません。したがって、fは極値を持ちません。 fのグラフで確認することができます。グラフ{x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x [-5、5、-118.6、152.4]}極値はありません！ 続きを読む »

局所極値は、x = -sqrt（3/2）では-2sqrt（6）、x = sqrt（3/2）では2sqrt（6）です。局所極値は、関数の一次導関数が0と評価される点に配置されます。したがって、それらを見つけるには、最初に導関数f '（x）を見つけ、次にf'（x）= 0について解きます。f '（x）= d / dx（2x + 3 / x）=（d / dx2x） ）+ d / dx（3 / x）= 2 - 3 / x ^ 2次に、f '（x）= 0 2-3 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2 = 3/2 => xについて解く= + -sqrt（3/2）したがって、これらの点で元の関数を評価すると、x = -sqrt（3/2）での極大値として-2sqrt（6）が得られ、での極小値として2sqrt（6）が得られます。 x = sqrt（3/2） 続きを読む »

Minima f：38.827075（x = 4.1463151の場合）、もう1つは負のxの場合。私はもう少しで、すぐにここを訪れるでしょう。事実上、f（x）=（xの2次式）/（x-1）^ 2です。部分分数の方法を使用すると、f（x）= x ^ 2 + 3x + 4 + 3 /（x-1）+ 42 /（x-1）^ 2この形式は漸近放物線y = x ^ 2 + 3xを表します。 + 4と垂直漸近線x =1。xから+ -oo、fからooとする。最初のグラフは、放物線の漸近線を示しています。 2番目のグラフは垂直漸近線の左側にあるx = 1のグラフを表示し、3番目のグラフは右側のグラフです。これらは、局所最小値f = 6と35を明らかにするために適切に拡大縮小されます。スターターx_0 = 3の数値反復法を使用すると、Q_1最小値fはx = 4.1473151で38.827075に近くなります。近いうちに、最低Q_2になるでしょう。グラフ{（x ^ 2 + 3x + 4 + 3 /（x-1）+ 42 /（x-1）^ 2-y）（x + .0000001y-1）（yx ^ 2-3x-4）= 0 [グラフ{（x ^ 2 + 3x + 4 + 3 /（x-1）+ 42 /（x-1）^ 2-y）（x + .0000001y-1）= 0 [-10、10、-10、10]}グラフ{（x ^ 2 + 3x + 4 + 3 /（x-1）+ 42 /（x-1）^ 2-y 続きを読む »

F_（min）= f（1/4 + 2 ^（ - 5/3））=（2 ^（2/3）+ 3 + 2 ^（5/3））/ 4。次のことに注意してください。f（x）= 4x ^ 2-2x + x /（x-1/4）; RR内のx - {1/4}。 ４ｘ ２ ２ｘ １ ／ ４ １ ／ ４ ｛（ｘ １ ／ ４） １ ／ ４｝ ／（ｘ １ ／ ４）。 xne1 / 4 =（2x-1/2）^ 2-1 / 4 + {（x-1/4）/（x-1/4）+（1/4）/（x-1/4）}。 xne1 / 4 = 4（x-1/4）^ 2-1 / 4 + {1+（1/4）/（x-1/4）}。 xne1 / 4：。 ｆ（ｘ） ４（ｘ １ ／ ４） ２ ３ ／ ４ （１／４）／（ｘ １ ／ ４）。 xne1 / 4。さて、局所的極値の場合、f '（x）= 0であり、f' '（x）>または<0であり、 "f_（min）またはf_（max）、"それぞれに従う。 f '（x）= 0 rArr 4 {2（x-1/4）} + 0 + 1/4 {（ - 1）/（x-1/4）^ 2} = 0 ...（ast）rArr 8（x-1/4）= 1 / {4（x-1/4）^ 2}、または（x-1/4）^ 3 = 1/32 = 2 ^ -5。 rArr x = 1/4 + 2 ^（ - 5/3）さらに、（ast）rArr f 続きを読む »

X = pi / 2 f ''（x）= - 1では、極大値が得られ、x = 3pi / 2、f ''（x）= 1では、極小値が得られます。極大値は、関数が上昇してから再び下降する最高点です。そのため、その点での接線の傾きまたは微分の値はゼロになります。さらに、最大値の左側の接線が上向きに傾斜し、次いで平坦化し、次いで下向きに傾斜するので、接線の傾斜は連続的に減少し、すなわち、二次導関数の値は負になる。一方、極小値は、関数が低下してから再び上昇する最低点です。そのため、最小値での接線または導関数の値もゼロになります。しかし、最小値の左側の接線が下向きに傾斜してから平坦化し、次に上向きに傾斜するので、接線の傾斜は連続的に増加するか、または二次導関数の値は正になります。しかしながら、これらの最大値および最小値は、普遍的、すなわち最大値または全範囲に対する最小値、または局所化された、すなわち限られた範囲内の最大値または最小値であり得る。問題に記述されている関数を参照してこれを見てみましょう。このために、まずf（x）= sinxを微分します。 ｆ '（ｘ） ｃｏｓｘであり、［０，２ｐｉ］ではｘ ｐｉ ／ ２およびｘ （３ｐｉ）／ ２で０である。 f ''（x）= - sinx x = pi / 2のときf ''（x）= - 1は極大値をもち、x = 3pi / 2のときf &# 続きを読む »

+ -1.7付近。この近似を与えるグラフを見てください。後でもっと正確な値を指定しようと思います。最初のグラフは、漸近線x = 0、+ -pi / 2 + -3 / 2pi、+ -5 / 2piを明らかにします。tan x / x ^ 2 =（1 / x）（tanx / x）は、 2番目の（縮尺のないアドホック）グラフは、局所的な極値を+ -1.7として近似します。私はこれらを後で改善するでしょう。グローバルな極値はありません。グラフ{tan x / x ^ 2 + 2 x ^ 3-x [-20、20、-10、10]}グラフ{tan x / x ^ 2 + 2 x ^ 3-x [-2、2、-5、5] ]} 続きを読む »

X = 1.763商の法則を使ってlnx / e ^ xの導関数を取ります。f '（x）=（（1 / x）e ^ x-ln（x）（e ^ x））/ e ^（2x）取り出しae ^ xを上から分母まで移動します。f '（x）=（（1 / x）-ln（x））/ e ^ x f'（x）= 0のときに検索これは、分子は0：0 =（1 / x-ln（x））これにはグラフ計算機が必要になります。 x = 1.763 1.763未満の数値を差し込むとプラスの結果が得られ、1.763を超える数値を差し込むとマイナスの結果が得られます。だからこれは極大値です。 続きを読む »

Minima（0、0）Maxima（-4 / 3、1 5/27）y = x ^ 2（x + 2）y = x ^ 3 + 2 x ^ 2 dy / d x = 3 x ^ 2 + 4 x（d） ^ 2y）/（dx ^ 2）= 6x + 4 dy / dx = 0 => 3x ^ 2 + 4x = 0 x（3x + 4）= 0 x = 0 3x + 4 = 0 x = -4 / 3 At ｘ ０。 （d ^ 2y）/（dx ^ 2）= 6（0）+ 4 = 4> 0 x = 0のとき。 dy / dx = 0;（d ^ 2y）/（dx ^ 2）> 0したがって、関数はx = 0で最小値をとり、x = 0でy;（0）^ 2（0 + 2）= 0となります。 ０、０）ｘ ４ ／ ３のとき。 （d ^ 2y）/（dx ^ 2）= 6（-4/3）+ 4 = -4 <0 x = -4のとき。 dy / dx = 0;（d ^ 2y）/（dx ^ 2）<0したがって、この関数は、x = -4 / 3、x = -4 / 3、y =（ - 4/3）^ 2で極大値をとります。 （-4 / 3 + 2）= 1 5/27 Maxima（-4/3、1 5/27）ビデオを見る 続きを読む »

極大値は25 +（26sqrt（13/3））/ 3極小値は25 - （26sqrt（13/3））/ 3です。極値を見つけるには、一次微分検定を使用します。極値では、少なくとも関数の一次導関数はゼロになることがわかっています。それでは、一次導関数を取り、それを0に設定してxについて解きましょう。 f（x）= -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 f '（x）= -3x ^ 2 + 6x + 10 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10この等式は2次式で簡単に解くことができます。式。私たちの場合、a = -3、b = 6、c = 10です。二次公式は次のように述べています。x =（-b + - sqrt（b ^ 2 - 4ac））/（2a） x =（-6 + - sqrt（156））/ - 6 = 1 + - sqrt（156）/ 6 = 1 + - sqrt（13/3）となり、局所極値のxの値は次のようになります。それでは、それらを元の式に代入して、f（1 + sqrt（13/3））= 25 +（26sqrt（13/3））/ 3およびf（1 - sqrt（13/3））=を得ます。 25 - （26平方フィート（13/3））/ 3 続きを読む »

MAX（0; 0）およびMIN（-10 / 3,20 / 29）f '（x）= - x（3x + 10）/（x ^ 2-3x-5）^ 2 f' '（x）を計算します。 ）= 2（3x ^ 2 + 15x ^ 2 + 25）/（x ^ 2-3x-5）^ 3なので、x = 0またはx = -10 / 3の場合、f '（x）= 0となり、さらにf'が得られます。 '（0）= - 2/5 <0およびf' '（ - 10/3）= 162/4205> 0 続きを読む »

X = -5 f（x）= [（x-2）（x-4）^ 3] /（x ^ 2-2）x ^ 2-2 =（x + 2）（x-2） f（x）= [（x-4）^ 3] /（x + 2）f '（x）= d / dx [（x-4）^ 3] /（x + 2）f' （x）= [3（x + 2）（x-4）^ 2-（x-4）^ 3] /（x + 2）^ 2局所極値点の場合f '（x）= 0だから[3（ x + 2）（x-4）^ 2-（x-4）^ 3] /（x + 2）^ 2 = 0 [3（x + 2）（x-4）^ 2-（x-4） ^ 3] = 0 3（x + 2）（x-4）^ 2 =（x-4）^ 3 3x + 6 = x-4 2x = -10 x = -5 続きを読む »

相対最大値：（-1、6）相対最小値：（3、-26）与えられた値：f（x）= x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + 1一階微分を見つけてに等しいと設定して臨界数を見つけるゼロ：f '（x）= 3x ^ 2 -6x - 9 = 0係数：（3x + 3）（x -3）= 0臨界数：x = -1、 "" x = 3 2次導関数テストを使ってこれらの臨界数が相対最大値か相対最小値かを調べます。f ''（x）= 6x - 6 f ''（ - 1）= -12 <0 => "x = -1 f ''における相対最大値3）= 12> 0 => "相対最小" x = 3 f（-1）=（-1）^ 3 - 3（-1）^ 2 - 9（-1）+ 1 = 6 f（3） = 3 ^ 3 - 3（3）^ 2 - 9（3）+ 1 = -26相対最大値：（ - 1、6）相対最小値：（3、-26） 続きを読む »

ターニングポイント（極値）は、関数の導関数がゼロのとき、すなわちf '（x）= 0のときに発生します。それは3x ^ 2-7 = 0 => x = + - sqrt（7/3）のときです。 2次導関数f ''（x）= 6x、かつf ''（sqrt（7/3））> 0かつf ''（ - sqrt（7/3））<0であることから、sqrt（7 / 3）は相対最小値で、-sqrt（7/3）は相対最大値です。対応するｙ値は、元の式に代入することによって見いだすことができる。関数のグラフは上記の計算を検証します。グラフ{x ^ 3-7x [-16.01、16.02、-8.01、8]} 続きを読む »

（0,15）、（4、-17）関数の微分係数が0のとき、極値、または相対的な最小値または最大値が発生します。したがって、f '（x）を見つけると、それを等しく設定できます。 f '（x）= 3x ^ 2-12x 0に設定します。3x ^ 2-12x = 0 x（3x-12）= 0各部分を0に設定します。{（x = 0）、（極値は（0,15）と（4、-17）で発生します。3x-12 = 0rarrx = 4）：}それらをグラフで見てください。graph {x ^ 3-6 x ^ 2 + 15 [-42.66、49.75、-21.7、24.54]}極値、すなわち方向の変化は、（0,15）と（4、 - ）です。 17）。 続きを読む »

F（x）_max =（1.37、8.71）f（x）_min =（4.63、-8.71）f（x）= x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 f '（x）= 3x ^ 2-18x +19 f ''（x）= 6x-18極大値または極小値の場合：f '（x）= 0したがって、：3x ^ 2-18x + 19 = 0 2次式を適用すると、x =（18 + -sqrt（18） ^ 2-4xx3xx19））/ 6 x =（18 + -sqrt96）/ 6 x = 3 + -2 / 3 sqrt6 x〜= 1.367または4.633極大値または極小値を調べるには、f ''（1.367）0 - >極大値f ''（4.633）> 0 - >極小値f（1.367）〜= 8.71極大値f（4.633）〜= -8.71極小値これらの極値は以下のf（x）のグラフで見ることができます。グラフ{x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 [-22.99、22.65、-10.94、11.87]} 続きを読む »

F（x）は約（0.1032、15.0510）に極大値を持ちます。f（x）は約（3.2301、-0.2362）に極小値を持ちます。f（x）=（x-3）（x ^ 2-2x-5）商品ルールを適用するf '（x）=（x-3）* d / dx（x ^ 2-2x-5）+ d / dx（x-3）*（x ^ 2-2x-5）べき乗則を適用する。 f '（x）=（x-3）（2x-2）+ 1 *（x ^ 2-2x-5）= 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 = 3x ^ 2-10x + 1局所極値f '（x）= 0の場合3 x ^ 2-10 x + 1 = 0 2次式を適用します。 x =（+ 10 + -sqrt（（ - 10）^ 2-4 * 3 * 1））/（2 * 3）=（10 + -sqrt（88））/ 6約3.2301または0.1032 f ''（x ）= 6x-10極大点で極大値f '' <0の場合。極小点で極小値f ''> 0の場合テストf ''（3.2301）> 0 - > f（3.2301）= f_minテストf ''（0.1032）0 - > f（0.1032）= f_maxしたがって、f_max約（0.1032-3）（0.1032 ^ 2-2 *）そして、ｆ＿ｍｉｎ約（３．２３０１ ３）（３ 続きを読む »

X_1 = -1が最大値x_2 = 1が最小値最初に一次導関数をゼロにすることで臨界点を見つけます。 / x ^ 2 = 0 x！= 0なので、x ^ 2 3 x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 x ^ 2 = frac（1 + -sqrt（1 + 24））6 so x ^ 2で乗算できます。他の根が負であるので= 1、そしてx = + - 1それから2次導関数の符号を見ます：f "（x）= 6x + 6 / x ^ 3 <0 f ''（1）= 12> 0となり、x_1 = -1は最大値、x_2 = 1は最小値のグラフ{x ^ 3-x + 3 / x [-20、20、-10、10] } 続きを読む »

極大値~~ -0.794（x ~~ -0.563）および極小値は~~ 18.185（x ~~ -3.107）および~~ -2.081（x ~~ 0.887）f '（x）=（2x ^） 7-12 x ^ 5 + 21 x ^ 4 + 15 x ^ 2-8 x-12）/（x ^ 3-3 x + 4）^ 2臨界数は2 x ^ 7-12 x ^ 5 + 21 x ^ 4 + 15 x ^ 2の解です-8x-12 =0。厳密な解はありませんが、数値解法を使うと、近似解はおよそ-3.107、 - 0.563、0.887となります。f ''（x）=（2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^） 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104）/（x ^ 3-3x + 4）^ 3二階微分検定を適用します。f ''（ - 3.107）> 0、 f（-3.107）~~ 18.185は極小f ''（ - 0.563）<0であるため、f（ - 0.563）~~ -0.794は極大f ''（0.887）> 0なので、f（0.887） ）~~ -2.081は極小値です 続きを読む »

（1、e ^ -1）積則を使う必要があります。d / dx（uv）= u（dv）/ dx + v（du）/ dx：。 f '（x）= xd / dx（e ^ -x）+ e ^ -x d / dx（x）：。 f '（x）= x（-e ^ -x）+ e ^ -x（1）：。 f '（x）= e ^ -x-xe ^ -x最小/最大でf'（x）= 0 f '（x）= 0 => e ^ -x（1-x）= 0今、e ^ x> 0 RRのAA x：。 f '（x）= 0 =>（1-x）= 0 => x = 1 x = 1 => f（1）= 1e ^ -1 = e ^ -1したがって、（1）には1つの転換点があります。 、e ^ -1）グラフ{xe ^ -x [-10、10、-5、5]} 続きを読む »

この関数は局所極値を持ちません。 f（x）= xlnx-xe ^ xは、g（x）が等しいことを意味します。f ^ '（x）= 1 + lnx - （x + 1）e ^ x xが局所極値になるには、g（x）はゼロ。ここで、これがxの実際の値に対して発生しないことを示します。 g ^ '（x）= 1 / x-（x + 2）e ^ x、qquad g ^ {' '}（x）= -1 / x ^ 2-（x + 3）e ^ x e 'x = 1 /（x（x + 2））の場合、^'（x）は消滅します。これは、数値的に解くことができる超越方程式です。 g ^ '（0）= + ooかつg ^'（1）= 1-3e <0なので、根は0と1の間にあります。そしてすべての正のxに対してg ^ {''}（0）<0なので、これが唯一の根であり、g（x）の最大値に対応します。方程式を数値的に解くのはとても簡単です。これは、g（x）がx = 0.3152で最大値をもち、最大値がg（0.3152）であることを示します。 = -1.957。 g（x）の最大値は負なので、g（x）が消えるxの値はありません。これをグラフィカルに見るのは有益かもしれません：graph {xlog（x）-xe ^ x [-0.105、1、-1.175、0.075]}上のグラフからわかるように、関数f（x）は実際 続きを読む »

X_1 = 2.430500874043およびy_1 = -1.4602879768904最大点x_2 = -1.0971675407097およびy_2 = -0.002674986072485最小点f（x）f '（x）=（（x-2）（x-4）^ 3 * 1）の導関数を求めます。 -x [（x-2）* 3（x- 4）^ 2 +（x-4）^ 3 * 1]）/ [（x-2）（x-4）^ 3] ^ 2次に分子をとるゼロに等しい（（x-2）（x-4）^ 3 * 1-x [（x-2）* 3（x- 4）^ 2 +（x-4）^ 3 * 1]）= 0 （x-2）（x-4）^ 3 - 3 x（x-2）（x-4）^ 2-x（x-4）^ 3 = 0共通項の因数分解（x-4）^ 2 * [ （x-2）（x-4）-3x（x-2）-x（x-4）] = 0（x-4）^ 2 *（x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x-） x ^ 2 + 4x）= 0（x-4）^ 2（-3x ^ 2 + 4x + 8）= 0 xの値は次のとおりです。x = 4漸近線x_1 =（4 + sqrt（112））/ 6 = 2.430500874043 y_1 = -1.4602879768904を取得するにはx_1を使用します。最大x_2 =（4-sqrt（112））/ 6 = -1.0971675407097 y_2 = -0.002674986072485を取得するにはx_ 続きを読む »

多項式はいたるところで微分可能であるため、f '= 0の解を見つけるだけで臨界値を探します。f' = 12 x ^ 2 + 6 x -6 = 0代数を使ってこの単純な2次方程式を解きます。x = -1およびx = 1 / 2 2次導関数を代入して、これらが最小値か最大値かを判断します。f '' = 24x + 6 f ''（ - 1）<0、したがって-1は最大値f ''（1/2）> 0、だから1/2が助けた最小の希望です 続きを読む »

F（x）= x ^ 2 / {（x-2）^ 2この関数は、x = 2に垂直漸近線を持ち、xが+ ooになると上から1に近づき、xが進むにつれて下から1に近づく。 -ooに。すべての導関数はx = 2でも未定義です。 x = 0、y = 0に1つの極小値があります（すべて原点に問題があります！）あなたは私の数学をチェックしたいと思うかもしれません。 f（x）= x ^ 2 / {（x-2）^ 2 x = 2のとき、分母はゼロなので、この関数はx = 2に垂直漸近線を持ちます。 xが+ oo（水平漸近線）になると上から1に近づき、xが-ooになると下から1に近づく。これは、x ^ 2〜=（x-2）^ 2でx ^ 2>（x）の値が大きいためである。 -2）x> 0の場合は^ 2、x <0の場合はx ^ 2 <（x-2）^ 2。最大/最小を求めるには、一次および二次導関数が必要です。 {d f（x）} / dx = d / dx（x ^ 2 / {（x-2）^ 2}）商の規則を使う！ {df（x）} / dx =（{（d / dx x ^ 2）（x-2）^ 2 - x ^ 2（d / dx（x-2）^ 2））/ {（x-2） ^ 4}）。べき乗則と連鎖則を使用して、次のようになります。{df（x）} / dx = {（2x）（x-2）^ 2 - x ^ 2（2 *（x-2）* 1）} /（x -2）^ 4。もう少し細かくして 続きを読む »

Bb l（λ）=（39,81）+λ（8,27）bb r（t）=（4t ^ 2 + 3、3t ^ 3）bbr（3）=（39,81）bb r '（t ）=（8t、9t ^ 2）これが接線ベクトルです。接線は次のとおりです。bb l（λ）= bb r（3）+λbb r '（3）=（39,81）+λ（24、81）方向ベクトルを少し因数分解できます。bb l（λ）=（39,81）+ lambda（8、27） 続きを読む »

Int ln（xe ^ x）/（x）dx = ln ^ 2（x）/ 2 + x + Cこれが与えられます。 int ln（xe ^ x）/（x）dx ln（ab）= lnを使う（a）+ ln（b）：= int（ln（x）+ ln（e ^ x））/（x）dx ln（a ^ b）= bln（a）の場合：= int（ln（x） ）+ xln（e））/（x）dx ln（e）= 1の使用：= int（ln（x）+ x）/（x）dx分数（x / x = 1）の分割：= int （ln（x）/ x + 1）dx合計積分の分離：= int ln（x）/ xdx + int dx 2番目の積分は単純にx + Cです。ここで、Cは任意の定数です。最初の積分では、u置換を使用します。u equiv ln（x）とします。したがって、du = 1 / x dx u置換を使用します。= int udu + x + C積分（任意の定数Cは任意の定数を吸収できます）最初の不定積分の式：= u ^ 2/2 + x + C xに関して代入する：= ln ^ 2（x）/ 2 + x + C 続きを読む »

T = 0およびt =（ - 3 + -sqrt（13））/ 2関数の重要な点は、関数の導関数がゼロまたは未定義であることです。導関数を見つけることから始めます。べき乗則を使ってこれを行うことができます。d / dt（t ^ n）= nt ^（n-1）s '（t）= 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t関数はすべての実数に対して定義されるので、そのような方法では臨界点を見つけることはできませんが、関数のゼロ点を解くことができます。12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t = 0 12t（t ^ 2 + 3t-1）= 0ゼロファクタ原理を使う、t = 0が解であることがわかります。二次式を使用して、二次係数がゼロに等しい場合を解くことができます。t =（ - 3 + -sqrt（9 + 4））/ 2 =（ - 3 + -sqrt（13））/ 2 続きを読む »

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C 続きを読む »

Nが大きい場合、シーケンスはn ^ 4 / n ^ 5 = 1 / nと同じ動作になります。上記のステートメントを明確にするには、式を少しだけ操作する必要があります。すべての項をn ^ 5で割ります。 n ^ 4 /（n ^ 5 + 1）=（n ^ 4 / n ^ 5）/（（（n ^ 5 + 1）/ n ^ 5）=（1 / n）/（1 + 1 / n ^ 5） ）これらの制限はすべてn-> ooのときに存在するので、次のようになります。lim_（n-> oo）n ^ 4 /（n ^ 5 + 1）=（n ^ 4 / n ^ 5）/（（n ^ 5 + 1 ）/ n ^ 5）=（1 / n）/（1 + 1 / n ^ 5）= 0 /（1 + 0）= 0なので、シーケンスは0になる傾向があります。 続きを読む »

X in {-3/2、3/2}この質問は実際にはy = 1 / xの接線（接線の点での勾配と考えることができる）がy = -4 /に平行であることを尋ねています9x + 7 2本の線が同じ傾きを持つ場合は平行であるため、これはy = 1 / xが-4 / 9の傾きを持つ接線を持つことを尋ねることと同じです。 （x_0、f（x_0））でy = f（x）に接する直線の傾きは、f '（x_0）で与えられます。上記と一緒に、これは私たちの目標が式f '（x）= -4 / 9を解くことであることを意味します。導関数を取ると、f '（x）= d / dx1 / x = -1 / x ^ 2解くと、-1 / x ^ 2 = -4 / 9 => x ^ 2 = 9/4となります。 x = + -3 / 2 続きを読む »

F '（x）= - sec ^ 2 x sin（tan x）cos（cos（tan x））f（x）= sin（g（x））f'（x）= g '（x）cos（g（x）） g（x）= cos（h（x））g '（x）= - h'（x）sin（h（x））h（x）= tan（x）h '（x）= sec ^ 2x g '（x）= - sec ^ 2×sin（tanx）g（x）= cos（tan×）f'（x）= - sec ^ 2×sin（tan×）cos（cos（tan×）） 続きを読む »

色（青）（（1-3e ^（ - 3x））/（x + 4 + e ^（ - 3x）））次の場合：y = ln（x）<=> e ^ y = x与えられた関数：e ^ y = x + 4 + e ^（ - 3x）暗黙的に微分します：e ^ ydy / dx = 1 + 0-3e ^（ - 3x）で割ること：color（white）（88）bb（e ^ y）dy / dx =（1-3e ^（ - 3x））/ e ^ y上から：e ^ y = x + 4 + e ^（ - 3x）：。 dy / dx =色（青）（（1-3e ^（ - 3x））/（x + 4 + e ^（ - 3x））） 続きを読む »

Gottfried Wilhelm Leibnizは数学者で哲学者でした。数学の世界への彼の貢献の多くは哲学と論理の形でありました、しかし彼は積分とグラフの領域の間の一致を発見することでもっとよく知られています。彼は主に、微積分を1つのシステムにまとめ、微積分を明確に定義する表記法を考案することに集中していました。彼はまた、より高級な派生物のような概念を発見し、そして製品とチェーンのルールを詳細に分析しました。 Leibnizは主に、次のような独自の表記法を使って作業しました。y = xは関数を表します。この場合、f（x）はy dy / dxと同じで、関数intydxの導関数を表し、aの逆微分を表します。 functionしたがって、たとえば、積規則は次のようになります。 "Let" y = uv。ここで、uとvはどちらも関数です。 "それから" dy / dx = u（dv）/ dx + v（du）/ dx何人かの人々にとっては圧倒的である、それはニュートンが絵に現れるところです。 続きを読む »

アイザックニュートン卿はすでに彼の重力理論と惑星の運動でよく知られていました。彼の微積分学の発展は数学と惑星運動と重力の物理学を統一する方法を見つけることでした。また、プロダクトルール、チェーンルール、テイラー級数、および一次微分よりも高い微分の概念を紹介しました。ニュートンは、主に次のような関数表記法を使って作業しました。f（x）関数を表すf '（x）関数の導関数を表すf'（x）関数の逆微分を表すこのように： "としよう" h（x）= f（x）g（x）。 "Then" h '（x）= f'（x）g（x）+ f（x）g '（x）この表記は、Leibnizが登場するところでは混乱を招くことがあります。 続きを読む »

実生活の面では、不連続はグラフ関数をプロットするときに鉛筆を上に移動するのと同じです。下記をご覧ください。この考えを念頭に置いて、いくつかの種類の不連続性があります。回避可能な不連続無限ジャンプの不連続と有限ジャンプの不連続あなたはいくつかのインターネットページでこのタイプを見ることができます。たとえば、これは有限ジャンプの不連続性です。数学的には、contuuityは次のように言うのと同じです。lim_（xtox_0）f（x）が存在し、f（x_0）と等しい 続きを読む »

関数が特定の値に対して明確に定義されていない場合、その関数は不連続になります。不連続には、無限、ポイント、ジャンプの3種類があります。多くの共通機能には、1つまたは複数の不連続点があります。例えば、関数y = 1 / xはx = 0に対しては明確に定義されていないので、xの値に対して不連続性があると言います。下のグラフを見てください。曲線がx = 0で交差しないことに注意してください。言い換えると、関数y = 1 / xはx = 0に対してy値を持ちません。同様に、周期関数y = tanxは、x = pi / 2、（3pi）/ 2、（5pi）/ 2 ...で不連続性を持ちます。分母が0の場合、有理関数では無限の不連続性が発生します。y = tan x =（sin x）/（cos x）なので、cos x = 0のところで不連続が発生します。分子と分母の間に共通の因数があると、不連続点が発生します。たとえば、y =（（x-3）（x + 2））/（x-3）はx = 3で不連続点を持ちます。点を削除するために区分関数を作成すると、点の不連続も発生します。たとえば、次のようになります。f（x）= {x、x！= 2;式３において、ｘ ０｝はｘ ０において点不連続性を有する。ジャンプ不連続は区分的または特殊な機能で発生します。例としては、床、天井、小数部などがあります。 続きを読む »

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561（79 / 2ln（x ^ 2 + 2）+ 47sqrt2tan ^ -1（（sqrt2x）/ 2））+ Cすでに因数分解されているので、部分分数を計算するために必要なのは定数を解くことだけです。（3x ^ 2-x）/（（x ^ 2 + 2）（x-3）（x-7））=（Ax + B） /（x ^ 2 + 2）+ C /（x-3）+ D /（x-7）分子は常に次のものより1度低いため、左端の分数にxと定数項の両方が必要です。分母左側の分母を乗じることができますが、それは膨大な量の作業になるため、代わりにスマートにして隠蔽法を使用することができます。プロセスの詳細は説明しませんが、基本的には分母がゼロになる原因（Cの場合はx = 3）を求め、それを左辺に差し込んで評価しながら評価します。定数に対応する係数を上げると、これは次のようになります。C =（3（3）^ 2-3）/（（3 ^ 2 + 2）（text（////））（3-7））= - 6 / 11 Dについても同じことができます。D =（3（7）^ 2-7）/（（7 ^ 2 + 2）（7-3）（text（////）））= 35/51隠蔽法は線形因子に対してのみ機能するので、我々は伝統的な方法を用いて左分母を乗じてAとBを解くことを余儀なくされています。3x ^ 2-x =（Ax + B）（x- 3）（x-7）- 続きを読む »

Int （x ^ 2-1）/ sqrt（2x-1） dx = 1/20（2x-1）^（5/2）+1/6（2x-1）^（3/2）-3 / 4sqrt（2x-1）+ Cこの積分の大きな問題は根ですから、取り除きたいのです。置換u = sqrt（2x-1）を導入することによってこれを行うことができます。導関数は次のようになります。（du）/ dx = 1 / sqrt（2x-1）したがって、次の式で除算します（逆数で除算することは分母だけで乗算することと同じです）。 x ^ 2-1）/ sqrt（2x-1） dx = int （x ^ 2-1）/ cancel（sqrt（2x-1））cancel（sqrt（2x-1）） du = int x ^ 2-1 du x ^ 2をuで表現するだけです（uに関してxを積分することはできないため）。u = sqrt（2x-1）u ^ 2 = 2x- 1 u ^ 2 + 1 = 2x（u ^ 2 + 1）/ 2 = xx ^ 2 =（（u ^ 2 + 1）/ 2）^ 2 =（u ^ 2 + 1）^ 2/4 =（u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1）/ 4これを積分に差し込むと、次のようになります。int （u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1）/ 4-1 duこれは逆べき乗則を使って評価できます。 ：1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C u = sqrt（2x- 続きを読む »

C = 2/3 f（x）がx = 2で連続するためには、次のことが成り立つ必要があります。lim_（x-> 2）f（x）が存在します。 f（2）は存在します（f（x）はx = 2で明確に定義されているのでここでは問題になりません）最初の仮定を調べてみましょう限界が存在するためには左右の限界が等しくなければなりません。数学的には次のようになります。lim_（x-> 2 ^ - ）f（x）= lim_（x-> 2 ^ +）f（x）これは、なぜx = 2だけに興味があるのか を示しています。この関数は左右で異なるものとして定義されているので、左右の限界値が等しくならない可能性があります。区分的関数に戻ると、2の左側にはf（x）= cx ^ 2 + 2x、あるいはx = 2の右側にはf（x）= x ^ 3が表示されます。 -cxだから：lim_（x-> 2）cx ^ 2 + 2x = lim_（x-> 2）x ^ 3 - cx極限の評価：（2）^ 2c + 2（2）=（2）^ 3 - （2）c => 4c + 4 = 8 - 2cここから、それは単にcを解くだけの問題です。6c = 4 c = 2/3何がわかったのでしょうか。この機能を今までどおり継続させるどこでも。他のcの値と左右の限界値は互いに等しくなく、関数は至るところで連続しているわけではありません。これがどのように機能するかを視覚的に把握するには、私が 続きを読む »

Ａ）ｆ（４） π／ ２。 b）f（4）= 0 a）両側を微分する。左側の微積分の2番目の基本定理と右側の積と連鎖の法則から、微分は次のことを明らかにすることがわかります。f（x ^ 2）* 2x = sin（pix）+ pixcos（pix） x = 2とすると、f（4）* 4 = sin（2pi）+ 2picos（2pi）f（4）* 4 = 0 + 2pi * 1 f（4）= pi / 2 b）内項を積分します。 int_0 ^ f（x）t ^ 2dt = xsin（pix）[t ^ 3/3] _0 ^ f（x）= xsin（pix）評価する。 （f（x））^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin（pix）（f（x））^ 3/3 = xsin（pix）（f（x））^ 3 = 3xsin（pix） ｘ ４。 （f（4））^ 3 = 3（4）sin（4pi）（f（4））^ 3 = 12 * 0 f（4）= 0 続きを読む »

Lim_（h-> 0）（f（x_0 + h）-f（x_0））/ h = Lであれば、関数fは点x_0で微分可能であることに注目すると、与えられた情報は事実上fは2で微分可能である。ここで、ステートメントを見てみましょう。ある点での関数の真の微分可能性は、その点でのその連続性を意味します。 II：真与えられた情報はx = 2での微分可能性の定義と一致します。 III：False関数の導関数は必ずしも連続的ではなく、古典的な例はg（x）= {（x！= 0の場合x ^ 2sin（1 / x））、（x = 0の場合0）です。は0で微分可能ですが、その導関数は0で不連続性を持ちます。 続きを読む »

Y = -48x - 79点（x_0、f（x_0））でグラフy = f（x）に接する線は、勾配f '（x_0）を通り、（x_0、f（x_0）を通る）線です。 。この場合、（x_0、f（x_0））=（-2、17）となります。したがって、勾配としてf '（x_0）を計算し、それを線の点勾配方程式に代入するだけです。 f（x）の導関数を計算すると、f '（x）= 8x ^ 3-8x => f'（ - 2）= 8（-2）^ 3-8（-2）= -64 + 16 =となります。 -48したがって、接線は-48の傾きを持ち、（-2、17）を通ります。したがって、その方程式はy - 17 = -48（x - （-2））=> y = -48x - 79です。 続きを読む »

F（x）= x解f（x）= f ^（ - 1）（x）となるような関数f：RRまたはRRを求めます。つまり、それ自身の逆関数である関数を求めます。明らかなそのような関数の1つは自明な解決策です。f（x）= xしかし、より詳細な問題の分析は、Journal of Mathematics of Teachers of Mathematicsに掲載されているNg Wee LengとHo Foo Himが検討したようにかなり複雑です。 。 http://www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf 続きを読む »

3 /（4a）（x ^ 3 - a ^ 3）=（xa）（x ^ 2 + a x + a ^ 2）（x ^ 4 - a ^ 4）=（x ^ 2-a ^ 2）（ x ^ 2 + a ^ 2）=（xa）（x + a）（x ^ 2 + a ^ 2）=>（x ^ 3-a ^ 3）/（x ^ 4-a ^ 4）=（（ cancel（xa））（x ^ 2 + a x + a ^ 2））/（（cancel（xa））（x + a）（x ^ 2 + a ^ 2））」 =（3 a ^ 2）/（（2 a）（2 a ^ 2））= 3 /（4a） "l 'Hôpitalの法則を使うこともできます。" "分子と分母の値の導出：" "（3 x ^ 2）/（4 x ^ 3）= 3 /（4x） "x = aを記入してください。" "= 3 /（4a） 続きを読む »

製品ルールとチェーンルールを使用して区別することから始めます。 ｙ ｕ （１／２）およびｕ ｘとする。 y '= 1 /（2u ^（1/2））そしてu' = 1 y '= 1 /（2（x）^（1/2））さて、積の法則によって。 f '（x）= 0 x x sqrt（x）+ 1 /（2（x）^（1/2））x x 5/2 f'（x）= 5 /（4 sqrt（x））関数上の任意の点は、x = aを導関数に評価することによって与えられます。質問は、x = 3での変化率がx = cでの変化率の2倍であると言っています。ビジネスの最初の順序は、x = 3の変化率を見つけることです。rc = 5 /（4sqrt（3））x = cの変化率は、10 /（4sqrt（3））= 5 /（2sqrt）です。 （3）） 5 /（2sqrt（3））= 5 /（4sqrt（x））20sqrt（x）= 10sqrt（3）20sqrt（x） - 10sqrt（3）= 0 10（2sqrt（x） - sqrt（3）= 0 2sqrt（x） - sqrt（3）= 0 2sqrt（x）= sqrt（3）4x = 3 x = 3/4したがって、cの値は3/4です。うまくいけば、これは役立ちます！ 続きを読む »

-1.11164 "これは有理関数の積分です。" 「標準的な手順は部分的な分割に分割されています。」 「まず、分母のゼロを検索します。」x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 => x（x - 1）（x - 4）= 0 => x = 0、1、または4 "だから我々は部分的な分数に分割します。"（2x + 1）/（x ^ 3-5x ^ 2 + 4x）= A / x + B /（x-1）+ C /（x-4）=> 2x １ Ａ（ｘ １）（ｘ ４） Ｂ ｘ（ｘ ４） Ｃ ｘ（ｘ １） Ａ Ｂ Ｃ ０、 ５ Ａ ４ Ｂ Ｃ ２ 、4A = 1 => A = 1/4、B = -1、C = 3/4 "だから我々は持っている"（1/4）int {dx} / x - int {dx} /（x-1）+ （3/4）int {dx} /（x-4）=（1/4）ln（| x |） - ln（| x-1 |）+（3/4）ln（| x-4 |） + C "2から3の間で評価します。" =（1/4）ln（3） - ln（2）+ cancel（（3/4）ln（1）） - （1/4）ln（2） +キャンセル（ln（1） - （3/4）ln（2）=（1/4）ln（3） - 2 ln（2）= -1.11164 続きを読む »

接線は25x-9y + 54 = 0、y = x + 6です。接線の傾きをmとします。接線の方程式はy-6 = mxまたはy = mx + 6です。この接線と与えられた曲線y =（x + 2）/（x + 3）の交点を見てみましょう。これにy = mx + 6を入れると、mx + 6 =（x + 2）/（x + 3）または（mx + 6）（x + 3）= x + 2すなわちmx ^ 2 + 3mx + 6xが得られます。 + 18 = x + 2またはmx ^ 2 +（3m + 5）x + 16 = 0これはxの2つの値、すなわち2つの交点を与えますが、接線は曲線を1つの点でのみカットします。したがって、y = mx + 6が正接であれば、二次方程式の根は1つだけでなければなりません。これは、判別式が0、つまり（3m + 5）^ 2-4 * m * 16 = 0または9m ^ 2の場合にのみ可能です+ 30m + 25-64m = 0または9m ^ 2-34m + 25 = 0、すなわちm =（34 + -sqrt（34 ^ 2-900））/ 18 =（34 + -sqrt256）/ 18 =（34 + - １６）／ １８すなわち２５ ／ ９または１、したがって接線はｙ ２５ ／ ９ｘ ６、すなわち２５ｘ ９ｙ ５４ ０およびｙ ｘ ６グラフ｛（２５ｘ ９ｙ ５４）（ｘ ｙ ６）である。 ）（ｙ （ｘ ２）／（ｘ ３ 続きを読む »

それはk> 0に対してのみ臨界点を持ちます。まず、h（x）の一次導関数を計算しましょう。 h ^（素数）（x）= d /（dx）[e ^（ - x）+ kx] = d /（dx）[e ^（ - x）] + d /（dx）[kx] = - e ^（ - x）+ kここで、x_0がhの臨界点になるには、条件h ^（prime）（x_0）= 0、または次の条件に従わなければなりません。h ^（prime）（x_0）= -e ^（ -x_0）+ k = 0 <=> e ^（ - x_0）= k = -x_0 = ln（k）<=> <=> x_0 = -ln（k）今、kの自然対数はk> 0に対して定義されるので、h（x）はk> 0の値に対してのみ臨界点を持ちます。 続きを読む »

NとSの辺の長さをx（フィート）とし、他の2つの辺をy（これもフィートと呼びます）と呼びましょう。フェンスのコストは次のようになります。2 * x * $ 10 N + Sと2 * y * E + Wで$ 15それで、フェンスの総コストの式は次のようになります。20x + 30y = 480 yを切り離します。30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x面積：A = x * A = x *（16-2 / 3 x）= 16x-2/3 x ^ 2最大値を見つけるには、この関数を微分してから導関数をに設定する必要があります。 0 A '= 16 - 2 * 2/3 x = 16 - 4/3 x = 0これはx = 12を解く前の方程式に代入するy = 16 - 2/3 x = 8答え：N側とS側は12フィートEとWの辺は8フィート、面積は96平方フィート 続きを読む »

Ｄｙ ／ ｄｘ （３ｓｅｃ ２ｓｑｒｔ（３ｘ １））／（２ｓｑｒｔ（３ｘ １））連鎖則：（ｆｇ） '（ｘ） ｆ'（ｇ（ｘ））＊ ｇ '（x）最初に外側の関数を微分し、内側はそのままにしてから、内側の関数の導関数を掛けます。 y = tan sqrt（3 x -1）dy / d x = sec ^ 2 sqrt（3 x -1）* d / d x sqrt（3 x -1）= sec ^ 2 sqrt（3 x -1）* d / d x（3 x -1） ）^（1/2）= sec ^ 2 sqrt（3x-1）* 1/2（3x-1）^（ - 1/2）* d / dx（3x-1）= sec ^ 2 sqrt（3x-） 1）* 1 /（2 sqrt（3 x -1））* 3 =（3 sec ^ 2 sqrt（3 x -1））/（2 sqrt（3 x -1）） 続きを読む »

1 f（n）= n ^（1 / n）はlog（f（n））= 1 / n log nとなります。lim_ {n - > oo} log（f（n））= lim_ {n - > oo} log n / n qquadqquadqquad = lim_ {n - > oo} {d /（dn）log n} / {d /（dn）n} = lim_ {n-> oo}（1 / n）/ 1 = 0 xは連続関数で、log（lim_ {n to oo} f（n））= lim_ {n to oo} log（f（n））= 0はlim_ {n to oo} f（n）= eを意味します。 ^ 0 = 1 続きを読む »

Lim_（x rarr 0） sin（1 / x）/（sin（1 / x））= 1 L = lim_（x rarr 0） sin（1 / x）/（sin（1 / x））制限を評価するときには、ポイントの「近く」の関数の振る舞いを見ます。必ずしも問題のポイントのところの関数「at」の振る舞いではありません。したがって、x rarr 0のように、何も考慮しないでください。 x = 0で起こるので、簡単な結果が得られます。L = lim_（x rarr 0） sin（1 / x）/（sin（1 / x）） = lim_（x rarr 0） 1 = 1明確にするために、x = 0の周りの振る舞いを視覚化する関数のグラフ{sin（1 / x）/ sin（1 / x）[-10、10、-5、5]}関数y = sin（1 / x）/ sin（1 / x）はx = 0では未定義 続きを読む »

「説明を参照」「| x |の定義を適用します。」「f（x）= | x |」 => {（f（x）= x、x> = 0）、（f（x）= -x、x <= 0）：} "これで次のようになります。" {（f '（x）= 1、x> = 0）、（f '（x）= -1、x <= 0）：} "したがって、f'（x）のx = 0に不連続性があることがわかります。" 「それ以外は、どこでも差別化可能です。」 続きを読む »

テレスコープシリーズ1シグマ（sqrt（n + 2） - 2sqrt（n + 1）+ sqrt（n））シグマ（sqrt（n + 2） - sqrt（n + 1） - sqrt（n + 1）+ sqrt（n） ））シグマ（（sqrt（n + 2） - sqrt（n + 1））（（sqrt（n + 2）+ sqrt（n + 1））/（sqrt（n + 2）+ sqrt（n + 1）） ））+（ - sqrt（n + 1）+ sqrt（n））（（sqrt（n + 1）+ sqrt（n））/（sqrt（n + 1）+ sqrt（n））））Sigma（1） /（sqrt（n + 2）+ sqrt（n + 1））+（ - 1）/（sqrt（n + 1）+ sqrt（n））））これは折りたたみ（伸縮）シリーズです。その最初の項は-1 /（sqrt（2）+ 1）= 1-sqrt2です。 続きを読む »

二次微分テストは、臨界数（点）x = 4/7がfの極小値を与える一方、臨界数（点）x = 0,1におけるfの性質については何も言わないことを意味します。 f（x）= x ^ 4（x-1）^ 3の場合、積規則はf '（x）= 4x ^ 3（x- 1）^ 3 + x ^ 4 * 3（x- 1）^と表します。 2 = x ^ 3 *（x-1）^ 2 *（4（x-1）+ 3x）= x ^ 3 *（x-1）^ 2 *（7x-4） xは、fがx = 0,4 / 7,1で臨界数（ポイント）を持つことを意味します。積規則をもう一度使用すると、次のようになります。f ''（x）= d / dx（x ^ 3 *（x-1）^ 2）*（7x-4）+ x ^ 3 *（x-1）^ 2 * 7 =（3x ^ 2 *（x-1）^ 2 + x ^ 3 * 2（x-1））*（7x-4）+ 7x ^ 3 *（x-1）^ 2 = x ^ 2 *（x -1）*（（3x-3 + 2x）*（7x-4）+ 7x ^ 2-7x）= x ^ 2 *（x-1）*（42x ^ 2-48x + 12）= 6x ^ 2 * （ｘ １）＊（７ｘ ２ ８ｘ ２）ここで、ｆ”（０） ０、ｆ”（１） ０、およびｆ”（４／７） ５７６ ／ ２４０１ ０である。したがって、2次微分テストは、臨界数（点）x = 4/7がfの極小値を与える一方で、臨界数（点）x = 0.1のfの性質に 続きを読む »

Sum_（n = 0）^ oo（na_nx ^（n + 1））S = x ^ 2sum_（n = 0）^ oo（na_nx ^（n-1））効果がよくわからない場合は最良の選択肢S = x ^ 2 {0a_0x ^（ - 1）+ 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + ...} = {0a_0x ^（1） + 1a_1x ^ 2 + 2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + ...}そして、それを級数に戻すことができます。S = sum_（n = 0）^ oo（na_nx ^（ n + 1）） 続きを読む »

V = 8piの体積単位本質的にあなたが抱えている問題は次のとおりです。V = piint_0 ^ 4（（sqrtx））^ 2 dx覚えておいてください、ソリッドの体積は次のように与えられます：V = piint（f（x））^ 2 dx V = piint_0 ^ 4（x）dx V = pi [x ^ 2 /（2）]で、下限はx = 0、上限はx = 4です。微積分学の基本定理を使用して、上限から下限を引くことで、制限を積分式に代入します。 V = pi [16 / 2-0] V = 8piの体積単位 続きを読む »

制限は、関数がその点で定義されていない場合でも、与えられた点の周りの関数の傾向を調べることを可能にします。以下の機能を見てみましょう。 f（x）= {x ^ 2-1} / {x-1} x = 1のとき、分母はゼロなので、f（1）は未定義です。しかし、x = 1での限界が存在し、関数値が2に近づくことを示しています。 lim_ {xから1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {xから1} {（x + 1）（x-1）} / {x-1} = lim_ {xから1このツールは、接線の傾きが交差点が近い割線の傾きで近似される場合に微積分に非常に役立ちます。このことは、導関数の定義の原動力となります。 続きを読む »

Color（blue）（ - （2y ^（5/2））/（1 + 4xy ^（3/2）））これは暗黙のうちに区別する必要があります。これは1つの変数に関する関数がないためです。 yを微分するとき、連鎖法則を使います。d / dy * dy / dx = d / dx例として、次のようになります。y ^ 2これは、次のようになります。d / dy（y ^ 2）* dy / dx = 2ydy / dxこの例では、xy ^ 2という積規則を使う必要があります。sqrt（y）をy ^（1/2）y ^（1/2）+ xy ^ 2 = 5のように書きます。微分：1 / 2y ^ （-1/2）* dy / dx + x * 2ydy / dx + y ^ 2 = 0 1 / 2y ^（ - 1/2）* dy / dx + x * 2ydy / dx = -y ^ 2 / dx：dy / dx（1 / 2y ^（ - 1/2）+ 2xy）= - y ^ 2（1 / 2y ^（ - 1/2）+ 2xy）dy / dx =（ - y ^ 2）で割る）/（（1 / 2y ^（ - 1/2）+ 2xy））=（ - y ^ 2）/（1 /（2sqrt（y））+ 2xy簡単化：2sqrt（y）（-y ^） 2 * 2sqrt（y））/（2sqrt（y）1 /（2sqrt（y））+ 2xy * 2sqrt（y）（ - y ^ 2 * 2sqrt（y））/（cancel（2 続きを読む »

V = 685 /32π立方単位まず、グラフをスケッチします。 y_1 = x ^ 2-x y_2 = 3-x ^ 2 x切片y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0そして、{（x = 0）、（x = 1）：}です。 （0,0）と（1,0）頂点を取得する：y_1 = x ^ 2-x => y_1 =（x-1/2）^ 2-1 / 4 => y_1 - （ - 1/4）= （x-1/2）^ 2頂点は（1/2、-1 / 4）になります。前の手順を繰り返します。y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0そして、{（x = sqrt（3））切片は（sqrt（3）、0）と（-sqrt（3）、0）です。y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^））、（x = -sqrt（3））：} 2頂点は（0,3）になります。結果：体積を取得する方法は？ディスク方式を使用します。この方法は単純です。 "Volume" = piint_a ^ by ^ 2dx考えは簡単ですが、スマートに使用する必要があります。そしてそれが私たちがやろうとしていることです。 V => V = V_1-V_2 V_1 = piint_a ^ b（4-y_1）^ 2dx V_2 = piint_a ^ b（4-y_2）^ 2dx NB：yは（4-y）なので、 x軸から曲線までの距離だけが、y = 4の線から曲線まで 続きを読む »

変曲点は次のとおりです。（（3pi）/ 4 + 2kpi、0） "AND"（（-pi / 2 + 2kpi、0））1 - 最初に関数の2階微分を求めます。 2 - 2番目に、その微分（（d ^ 2y）/（dx ^ 2））をゼロとみなします。y = sinx + cosx =>（dy）/（dx）= cosx-sinx =>（d ^ 2y）/（ dx ^ 2）= - sinx-cosx次に、-sinx-cosx = 0 => sinx + cosx = 0とします。ここで、λは鋭角でRは決定される正の整数このように、sinx + cosx = Rcos（x +λ）=> sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda式の両側でsinxとcosxの係数を等しくすることにより、=> Rcoslamda = 1およびRsinlambda = -1（Rsinlambda）/ （Rcosλ）=（ - 1）/ 1 => tanλ= -1 =>λ= tan ^ -1（-1）= - π/ 4そして（R cosλ）^ 2 +（R sinλ）^ 2 =（1）^ 2 +（ - 1）^ 2 => R ^ 2（cos ^ 2x + sin ^ 2x）= 2しかし、恒等式cos ^ 2x + sin ^ 2 = 1を知っているので、R ^ 2（1）= 2 = > 続きを読む »

Int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -1 / 18xsqrt（4-9x ^ 2）-2 / 27cos ^（ - 1）（（3x）/ 2）+ cこの問題に意味があるのは4-9x ^ 2> = 0、つまり-2 / 3 <= x <= 2/3。したがって、x = 2 / 3cosuとなるように0 <= u <= piを選択できます。これを使用して、dx = -2 / 3 sinuduを使用して変数xを積分に代入できます。int x ^ 2 / sqrt（4-9 x ^ 2）dx = -4 / 27intcos ^ 2u /（sqrt（1-cos ^ 2u） ））sinudu = -4 / 27intcos ^ 2uduここでは1-cos ^ 2u = sin ^ 2uと0 <= u <= pi sinu> = 0を使います。ここで、部分積分法を使って、intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2uduを見つけます。したがって、intcos ^ 2udu = 1/2（sinucosu + u + c）です。そのため、int x ^ 2 / sqr 続きを読む »

式を操作してより便利な形式にする必要があります。式（1 /（h + 2）^ 2 -1/4）/ h =（（4-（h + 2）^ 2）に取り組みましょう。 /（4（h + 2）^ 2））/ h =（（4-（h ^ 2 + 4h + 4））/（4（h + 2）^ 2））/ h =（（（4-h） ^ 2-4h-4））/（4（h + 2）^ 2））/ h =（ - h ^ 2-4h）/（4（h + 2）^ 2 h）=（h（-h-） 4））/（4（h + 2）^ 2 h）=（ - h-4）/（4（h + 2）^ 2）h-> 0のときに制限を取るとします。lim_（h-> 0 ）（ - h-4）/（4（h + 2）^ 2）=（-4）/ 16 = -1 / 4 続きを読む »

1 /（sqrt2）tan ^ -1（（tanx-1）/（sqrt（2tanx））） - 1 /（2sqrt2）ln |（tanx-sqrt（2tanx）+1）/（tanx-sqrt（2tanx）+ 1）| + C u = sqrt（tanx）のu置換から始めます。uの導関数は、（du）/ dx =（sec ^ 2（x））/（2sqrt（tanx））です。 uに関して積分すること（そして分数で割ることはその逆数で乗算することと同じです）：int 1 / sqrt（tanx） dx = int 1 / sqrt（tanx）*（2sqrt（tanx） / sec ^ 2x du = = int 2 / sec ^ 2x du uに関してxを積分することはできないので、次の恒等式を使います。sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1これは次のようになります。int 2 /（tan ^ 2x + 1） du = int 2 /（1 + u ^ 4） du = 2int 1 /（1 + u ^ 4） duこの残りの積分はかなり面倒な部分分数分解を使います。だから私はここでそれをやらないでしょう。あなたがそれがどのように解決されるかに興味があるならば、この答えを見てください：http://socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1 2int 続きを読む »

- （3（x + 1））/（2（2x-1）^ 2 sqrt（（x + 1）/（2x-1））f（x）= u ^ n f '（x）= n xx（この場合、次のようになります。sqrt（（x + 1）/（2x-1））=（（x + 1）/（2x-1））^（1/2）： n = 1/2、u =（x + 1）/（2x-1）d / dx = 1/2 xx（1xx（2x-1） - 2xx（x + 1））/（2x-1）^ 2 xx（（x + 1）/（2x-1））^（1 / 2-1）= 1 / 2xx（-3）/（（2x-1）^ 2 xx（（x + 1）/（2x-） 1））^（1 / 2-1）= - （3（x + 1））/（2（2x-1）^ 2（（x + 1）/（2x-1））^（1/2） 続きを読む »

ステップ1は、関数を有理数指数として書き直すことです。f（x）= sin（x）^ {1/2}式がその形式になったら、連鎖規則を使用して微分することができます。 {1/2} - > 1 / 2Sin（x）^ { - 1/2} * d / dxSin（x）すると、1 / 2Sin（x）^ { - 1/2} * Cos（x）回答 続きを読む »

（dy）/（dx）= x ^ 2 /（1 + x ^ 2）（dy）/（dx）を見つけたいとします。このためには、まずxに関してyの式を必要とします。 tan（x）は周期関数なので、tan（x-y）= xは複数の解を持つことになるので、この問題にはさまざまな解があることに注意してください。ただし、正接関数の周期（pi）がわかっているので、次のことができます。xy = tan ^（ - 1）x + npiここで、tan ^（ - 1）は正接の逆関数で、接線の周期性を考慮して、-pi / 2とpi / 2、および係数npiが追加されました。これにより、y = x-tan ^（ - 1）x-npiが得られます。したがって、（dy）/（dx）= 1-d /（dx）tan ^（ - 1）xとなります。因子npiは消えています。今、d /（dx）tan ^（ - 1）xを見つける必要があります。これはかなりトリッキーですが、逆関数の定理を使って実行できます。 u = tan ^（ - 1）xと設定すると、x = tanu = sinu / cosuとなり、（dx）/（du）=（cos ^ 2u + sin ^ 2u）/ cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2uとなります。商の規則といくつかの三角恒等式を使用する。逆関数定理（（dx）/（du）が連続的かつ非ゼロの場合、（du）/（dx）= 1 /（（dx）/（du））であることを示す）を使用して、 続きを読む »

Y = -2x + pi / 2 x = pi / 4における曲線y = cos（2x）の接線の方程式を見つけるには、yの微分を取ることから始めます（chain ruleを使います）。 y '= - 2sin（2x）xの値をy'に代入します。-2sin（2 * pi / 4）= - 2これはx = pi / 4における接線の傾きです。接線の方程式を見つけるには、yの値が必要です。 xの値をyの元の式に代入するだけです。 y = cos（2 * pi / 4）y = 0次に、接線の方程式を見つけるために、ポイントスロープ形式を使用します。y-y_0 = m（x-x_0）ここで、y_0 = 0、m = -2、x_0 = pi / 4。 y = -2（x-pi / 4）簡単にすると、y = -2x + pi / 2となります。グラフ{（y-cos（2x））（y + 2x-pi / 2）= 0 [-2.5、2.5、-1.25、1.25]} 続きを読む »

Fの区間[a、b]にわたる定積分は、最初にその領域に[a、b]を含む関数fに対して定義されます。つまり、[a、b]内のすべてのxに対して定義される関数fから始めます。不適切な積分は、a、b、またはその両方をfの領域外（ただし '端'）に置くことによって初期定義を拡張します。だから私たちは限界を探すことができる）あるいは左と右の端点（あるいはその両方）を欠く間隔（無限の間隔）を探すことができる。例：int_0 ^ 1 lnx dx色（白） "sssssssssss"被積分関数は0で定義されていませんint_5 ^ 7 1 /（x ^ 2-25）dx色（白） "ssssss"被積分関数は5で定義されていませんint_1 ^ oo 1 / x ^ 2 dx色（白）の "sssssssssss"間隔に正しい終点がありません 続きを読む »

（dy）/（dx）= - x ^ 2 /（1 + x ^ 2）http://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-derivative-of-tan-xyxを参照してください。ここで、x = tan（xu）; -1？answerSuccess = 1です。 （du）/（dx）= x ^ 2 /（1 + x ^ 2）（便宜上、yをuに置き換えました）。これは、uを-yに置き換えれば、x = tan（x + y）についてそれがわかることを意味します。 - （dy）/（dx）= x ^ 2 /（1 + x ^ 2）、つまり（dy）/（dx）= - x ^ 2 /（1 + x ^ 2）。 続きを読む »

（root3x-1）^ 3 +（9（root3x-1）^ 2）/ 2 + 9（root3x-1）+ 3ln（abs（root3x-1））+ C int root3x /（root3x-1）dx次のように代入します。u =（root3x-1）（du）/（dx）= x ^（ - 2/3）/ 3 dx = 3x ^（2/3）du int root3x /（root3x-1）（3x ^（2 /） 3））du = int（3x）/（root3x-1）du = int（3（u + 1）^ 3）/ udu = 3int（u ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1）/ udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 +（9u ^ 2）/ 2 + 9u + 3ln（abs（u））+ C u = root3x-1：（root3x-1）^ 3 +（9） （root3x-1）^ 2）/ 2 + 9（root3x-1）+ 3ln（abs（root3x-1））+ C 続きを読む »

Dy / dx = csin（cx）cos（x）sin ^（c-1）（x）+ csin ^ c（x）cos（cx）= csin（x）^（c-1）sin（cx + x）与えられた関数y = f（x）= uvここで、uとvは両方ともxの関数であり、次のようになります。dy / dx = u'v + v'u u = sin（cx）u '= c cos（cx）v = sin ^ c（x）v '= c cos（x）sin ^（c-1）（x）dy / dx = csin（cx）cos（x）sin ^（c-1）（x）+ csin ^ c（x）cos（cx）= csin（x）^（c-1）sin（cx + x） 続きを読む »

Cos（xy）+ e ^ x（-tan ^ 2（y）+ tan（y）-1）= 0のとき、f（x、y）= sin（x）cos（y）+ e ^ xtan（ y）（delf（x、y））/（delx）= 0かつ（delf（x、y））/（dely）= 0（delf（x、y））/（delx）= cos（） x）cos（y）+ e ^ xtan（y）（delf（x、y））/（dely）= - sin（x）sin（y）+ e ^ xsec ^ 2（y）sin（y）sin（y） x）+ cos（y）cos（x）+ e ^ xtan（y）-e ^ xsec ^ 2（y）= cos（xy）+ e ^ x（tan（y）-sec ^ 2（y））= cos（xy）+ e ^ x（tan（y） - （1 + tan ^ 2（y）））= cos（xy）+ e ^ x（-tan ^ 2（y）+ tan（y）-1）解決策を見つけるための現実的な方法はありませんが、cos（xy）+ e ^ x（-tan ^ 2（y）+ tan（y）-1）= 0のときに臨界点が発生します。 続きを読む »

F（x）= lnx + 1不等式を2つの部分に分けます。f（x）-1> = lnx - >（1）f（x / e）<= lnx->（2）（1）を見てみましょう。 ：f（x）> = lnx + 1になるように並べ替えます。（2）を見てみましょう：y = x / e、x = yeとします。 （0、+ oo）.f（x / e）<= lnx f（y）<= lnye f（y）<= lny + lne f（y）<= lny + 1 y inxの条件yを満たしています。したがって、f（y）= f（x）です。 2つの結果から、f（x）= lnx + 1 続きを読む »

べき乗則：f（x）= x ^ nならf '（x）= nx ^（n-1）総和則：f（x）= g（x）+ h（x）ならf'（x） = g '（x）+ h'（x）積則：f（x）= g（x）h（x）の場合、f '（x）= g'（x）h（x）+ g（x） h '（x）商法則：f（x）= g（x）/（h（x））の場合、f'（x）=（g '（x）h（x） - g（x）h'（ x））/（h（x））^ 2連鎖則：f（x）= h（g（x））の場合、f '（x）= h'（g（x））g '（x）またはdy / dx = dy /（du）*（du）/ dx詳細については、http：//socratic.org/calculus/basic-differentiation-rules/summary-of-differentiation-rulesを参照してください。 続きを読む »

E ^（ - 2x）= sum_（n = 0）^ oo（-2）^ n /（n！）x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4。 .. 0を中心に展開されたテイラー級数の場合は、マクロローリン級数と呼ばれます。マクローリン級数の一般式は、次のとおりです。f（x）= sum_（n = 0）^ oof ^ n（0）/（n！）x ^ nこの関数の級数を計算するには、次の関数から始めます。 e ^ xを使い、それを使ってe ^（ - 2x）の式を考えます。 Maclaurin級数を構成するために、e ^ xのn次導関数を考え出す必要があります。数個の導関数を取ると、非常に素早くパターンを見ることができます。f（x）= e ^ x f '（x）= e ^ x f' '（x）= e ^ x実際、eのn次導関数^ xは単にe ^ xです。これをMaclaurinの公式に代入することができます。e ^ x = sum_（n = 0）^ ooe ^ 0 /（n！）x ^ n = sum_（n = 0）^ oox ^ n /（n！）= 1+ x /（1！）+ x ^ 2 /（2！）+ x ^ 3 /（3！）...これでe ^ xのテイラー級数ができたので、すべてのxを-2xに置き換えてe ^（ - 2x）の級数を得る：e ^（ - 2x）= sum_（n = 0）^ oo（-2x）^ n /（ 続きを読む »

1/2 [ - ln（abs（sqrt（1 + e ^（2x））+ 1））+ ln（abs（sqrt（1 + e ^（2x）） - 1）] + sqrt（1 + e ^）最初に代入します。u = e ^（2x）+1; e ^（2x）= u-1（du）/（dx）= 2e ^（2x）; dx =（du）/（ 2e ^（2x））intsqrt（u）/（2e ^（2x））du = intsqrt（u）/（2（u-1））du = 1 / 2intsqrt（u）/（u-1）du 2番目の代入：v ^ 2 = u; v = sqrt（u）2v（dv）/（du）= 1; du = 2vdv 1 / 2intv /（v ^ 2-1）2vdv = intv ^ 2 /（v ^ 2 -1）dv = int1 + 1 /（v ^ 2-1）dv部分分数を使って分割する：1 /（（v + 1）（v-1））= A /（v + 1）+ B /（v- 1）1 = A（v-1）+ B（v + 1）v = 1：1 = 2B、B = 1/2 v = -1：1 = -2A、A = -1 / 2 -1 /（2（v + 1））+ 1 /（2（v-1））int1 + 1 /（（v + 1）（v-1））dv = int1-1 /（2（v + 1） ））+ 1 /（2（v-1））dv = 1/2 [-ln（abs（v + 1））+ ln（abs（v-1））] + v + C v = sqrt 続きを読む »

教科書では、（Stewart微積分学）の臨界点を、f = xの値（独立変数）が1であるf =の臨界点、ここでf 'が0であるか存在しないかのいずれかにする。 （フェルマーの定理の条件を満たすxの値）fの変曲点は、凹面が変化するグラフ上の点（x座標とy座標の両方を持つ）です。 （他の人が他の用語を使っているようです。間違って食べたのか、違う用語を使っているのかわかりません。しかし、80年代初頭からアメリカで使った教科書はすべてこの定義を使っています。） 続きを読む »

関数がaの近く（aを含む開区間内）で連続しているがaではない場合、関数はaで不連続であると言えます。しかし、他にも定義があります。関数fは、次の場合に限り、数値aで連続しています。lim_（xrarra）f（x）= f（a）これには、1 "" f（a）が存在しなければなりません。 （aはfの定義域内にある）2 "" lim_（xrarra）f（x）は存在しなければならない3 1と2の数は等しくなければならない。最も一般的な意味では、fがaで連続していない場合、fはaで不連続になります。 fがaで不連続である場合、fはaで不連続であると言う人もいるでしょう。その他は、 "不連続"とは異なることを意味するために "不連続"を使うでしょう。 aを含んでいるが、おそらくそれ自体ではない。この使用法では、sqrtxが-1で不連続になるとは言いません。それはそこでは連続的ではありませんが、「不連続」はもっと必要です。考えられる第２の追加要件は、ｆがａに「ほぼ」連続していなければならないということである。この使用法では、例えば：f（x）= 1 / xは0で不連続ですが、g（x）= {（0、 "if"、x、 "は有理数"）、（1、 "if"、x 、 "is irrational"）：}はaに対して連 続きを読む »

Pi / 4 [ab]におけるf（x）、xの円弧長は次式で与えられる。S_x = int_b ^ af（x）sqrt（1 + f '（x）^ 2）dx f（x）= - xsinx + xcos（x-pi / 2）= - xsinx + xsinx = 0 f '（x）= 0ちょうどy = 0なので、0からpi / 4までのsの直線の長さはpi / 4です。 0 =π/ 4 続きを読む »

これは、（7sqrt3）/ 2 ^ 7 =（7sqrt3）/ 128です。方法f（x）= sin ^ 7（x）これをf（x）=（sin（x））^ 7と書き直すと非常に便利です。これは私たちが持っているものが7乗関数であることを明らかにしているからです。べき乗則と連鎖則を使用します（この組み合わせは一般化されたべき乗則と呼ばれることが多いです）。f（x）=（g（x））^ nの場合、導関数はf '（x）= n（g（x））です。 ）^（n-1）* g '（x）、他の表記法ではd /（dx）（u ^ n）= nu ^（n-1）（du）/（dx）どちらの場合も、あなたの質問に対してf '（x）= 7（sin（x））^ 6 * cos（x）あなたはf'（x）= 7sin ^ 6（x）* cos（x）と書くことができます。 '（ - π/ 3）= 7sin ^ 6（ - π/ 3）* cos（ - π/ 3）= 7（1/2）^ 6（sqrt3 / 2）=（7sqrt3）/ 2 ^ 7 続きを読む »

F（x）= ln（（x + 3）/ 5）+ 1 int1 / xdx = lnx + Cなので、int1 /（x + 3）dx = ln（x + 3）+ Cです。 ｘ） Ｉｎ（ｘ ３） Ｃ。初期条件f（2）= 1が与えられます。必要な置換をすると、次のようになります。f（x）= ln（x + 3）+ C - > 1 = ln（（2）+ 3）+ C - > 1-ln5 = Cこれで、f（x）を次のように書き換えられます。 f（x）= ln（x + 3）+ 1 - ln5、それが最終的な答えです。必要に応じて、次の自然対数プロパティを使用して簡単にすることができます。lna-lnb = ln（a / b）これをln（x + 3）-ln5に適用すると、ln（（x + 3）/ 5）が得られます。したがって、答えをさらにf（x）= ln（（x + 3）/ 5）+1と表すことができます。 続きを読む »

Ln（x / 2）+1> lnx = 1 / xの微分、したがって1 / xの逆微分は "lnx rArrF（x）= int1 / x dx = lnx + c cを求めるには、f（ 2）= 1 ln 2 + c = 1 c = 1 - ln 2 rArr F（x）= ln x + 1-ln 2を単純化するために•lnx-lny = ln（x / y）を使用して "rArr int1 / x dx = ln x / 2）+1 続きを読む »

F（x）= 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 f（x）：x ^ 3/3 - 3/2 x ^ 2 + cf（2）= 1を積分すると、積分定数が有効になります。 ｃ）ｘ ２、ｙ １について評価することによって見いだされる。ｒＡｒｒ ２ ３ ／ ３ ３ ｘｘ ２ ２ ／ ２ ｃ １ ｒＡｒｒ ８／３ - ６ ｃ １ ｒ Ａｒｒ ｃ １ ６ - 8/3 = 13/3 rArr f（x）= 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 続きを読む »

F（x）= x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3不定積分を解きます。int（x ^ 2 + x-3）dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + cそしてそれからcを見つけるために私達の条件を使う：f（2）= 3 =（2 ^ 3）/ 3 +（2 ^ 2）/ 2-（3 * 2）+ c ３ ８ ／ ３ ４ ／ ２ ６ ｃｃ ３ ８ ／ ３ ２ ６ｃ ７ ８ ／ ３ （２１ ８）／ ３ １３ ／ ３そして最終的に、ｆ（ｘ） x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 続きを読む »

F（x）= xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f（x）= intxe ^ xdx、f（2）= 3部分積分f（x）= intu（dv）/（dx）dx = uv-intv（du）/（dx）dxこの場合、u = x =>（du）/（dx）= 1（dv）/（dx）= e ^ x => v = e ^ x：.f （x）= xe ^ x-inte ^ xdx f（x）= xe ^ xe ^ x + cf（2）= 3：。 f（2）= 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f（x）= xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 続きを読む »

Sqrt（1 + x ^ 2）-1 / 2 ln（abs（sqrt（1 + x ^ 2）+ 1））+ 1/2 ln（abs（sqrt（1 + x ^ 2）-1））+ C ^ 2 = 1 + x ^ 2、x = sqrt（u ^ 2-1）2u（du）/（dx）= 2x、dx =（udu）/ x intsqrt（1 + x ^ 2）/ xdx = int（ usqrt（1 + x ^ 2））/ x ^ 2du intu ^ 2 /（u ^ 2-1）du = int1 + 1 /（u ^ 2-1）du 1 /（u ^ 2-1）= 1 / （（ｕ １）（ｕ １）） Ａ ／（ｕ １） Ｂ ／（ｕ １）１ Ａ（ｕ １） Ｂ（ｕ １）ｕ １ １ ２Ｂ、 B = 1/2 u = -1 1 = -2A、A = -1 / 2 int1-1 /（2（u + 1））+ 1 /（2（u-1））du = u-1 / 2ln （abs（u + 1））+ 1 / 2ln（abs（u-1））+ C u = sqrt（1 + x ^ 2）を元に戻すと、次のようになります。sqrt（1 + x ^ 2）-1 / 2ln（ abs（sqrt（1 + x ^ 2）+ 1））+ 1/2 ln（abs（sqrt（1 + x ^ 2）-1））+ C 続きを読む »

（sqrt（170）、tan ^ -1（1/13）） - =（13.0,0.0768 ^ c）与えられた座標の組（x、y）、（x、y） - >（rcostheta、rsintheta）r = sqrt（x ^ 2 + y ^ 2）theta = tan ^ -1（y / x）r = sqrt（13 ^ 2 + 1 ^ 2）= sqrt（169 + 1）= sqrt（170）= 13.0 theta = tan ^ -1（1/13）= 0.0768 ^ c（13,1） - >（sqrt（170）、tan ^ -1（1/13）） - =（13.0,0.0768 ^ c） 続きを読む »

これなしでは答えられない。これが数学の用途のいくつかです。集合は、それ自身の適切なサブセットに1対1でマッピングできる場合、無限の基数を持ちます。これは微積分学における無限大の使用ではありません。微積分学では、3つの方法で「無限大」を使用します。区間表記：シンボルoo（それぞれ-oo）は、区間が右（それぞれ左）の終点を持たないことを示すために使用されます。区間（2、oo）は集合xと同じです。無限の限界xがaに近づくにつれてf（x）の値が無限に増加するため限界が存在しない場合、lim_（xrarra）f（x）と書きます。 = oo注意：「範囲なし」という句は重要です。数：1 / 2、3 / 4、7 / 8、15 / 16、31 / 32、63 / 64。 。 。増加していますが、上限はあります。無限大での限界「無限大での限界」という表現は、xが無限に増加するにつれてf（x）がどうなるかを尋ねたことを示すために使用されます。 xが無制限に増加すると、x ^ 2も無制限に増加するため、x ^ 2の制限なしにxが増加するときの制限は存在しません。これはlim_（xrarr00）x ^ 2 = ooと書かれており、「xが無限大になるときの限界は無限大」とよく読みます。限界lim_（xrarroo）1 / x = 0は、xが大きくなるにつれて限界がなければ、1 / xは0に近づきます。 続きを読む »

L'hopitalの法則は主に、f（x）/ g（x）の形式の関数のx-> aとして極限を求めるために使用されます。 （a）0/0やoo / ooなど、不定形式になります。そのような場合、それらの関数の導関数の限界をx-> aとすることができます。したがって、lim_（x-> a）（f '（x））/（g'（x））を計算することになり、これは初期関数の限界に等しくなります。これが役に立つかもしれない関数の例として、関数sin（x）/ xを考えてください。この場合、ｆ（ｘ） ｓｉｎ（ｘ）、ｇ（ｘ） ｘである。 ｘ ０、ｓｉｎ（ｘ） ０、ｘ ０であるので、ｌｉｍ＿（ｘ ０）ｓｉｎ（ｘ）／ ｘ ０ ／ ０ ？ 0/0は不定形式です。なぜなら、それが等しいことを正確に定義することはできないからです。しかし、導関数をとることによって、f '（x）= cos（x）、g'（x）= 1となります。したがって、lim_（x-> 0）sin（x）/ x = lim_（x） - > 0）cos（x）/ 1 = lim_（x-> 0）cos（x）= cos（0）= 1 続きを読む »

L 'ホピタルの法則{（lim_ {x to a} f（x）= 0かつlim_ {x to a} g（x）= 0）、（または）、（lim_ {x to a} f（x）= pm inftyおよびlim_ {x to a} g（x）= pmそれからlim_ {x to a} {f（x）} / {g（x）} = lim_ {x to a} {f '（ x）} / {g '（x）}。例1（0/0）lim_ {xから0} {sinx} / x = lim_ {xから0} {cosx} / 1 = {cos（0）} / 1 = 1/1 = 1例2（infty / infty）lim_ {xからinfty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = 0これが役に立ったと思います。 続きを読む »

X = -4 and -8/5つまり、垂直漸近線は垂直方向に無限に伸びる線です。気がついたら、それは曲線のy座標が無限大に達することを意味します。無限大= 1/0であることがわかっています。したがって、f（x）と比較すると、f（x）の分母はゼロになるはずです。したがって、（5x + 8）（x + 4）= 0これは、根が-4と-8/5である2次方程式です。したがって、x = -4、-8 / 5では、垂直漸近線があります。 続きを読む »

あなたがライプニッツ記法を好む場合、二次導関数は（d ^ 2y）/（dx ^ 2）と表されます。例：y = x ^ 2 dy / d x = 2 x（d ^ 2 y）/（d x ^ 2）= 2もしあなたが素数表記を好めば、二階微分は2つの素数記号で表されます。導関数：y = x ^ 2 y '= 2 x y' '= 2同様に、関数が関数表記の場合、f（x）= x ^ 2 f'（x）= 2 x f ''（x）= 2人々は両方の表記法に精通しているので、人々があなたが書いているものを理解することができる限り、それは通常あなたがどの表記法を選ぶかは問題ではない。そうでなければアポストロフィを1または11の指数と混同する傾向があるので、私自身はLeibniz表記を好みます。素数の表記は、より手短で書きやすくなりますが、多くの人がそれを好むのです。 続きを読む »

有理関数は、分数バーの下にxがあるところです。バーの下の部分は分母と呼ばれます。分母が0にならない可能性があるため、これはxの領域に制限を設けます。単純な例：y = 1 / x domain：x！= 0これはxを0に近づけることができるので垂直漸近線x = 0も定義します。あなたが望むように0に、しかしそれに到達しないでください。負から正の側から0に向かって移動するかどうかは違います（グラフ参照）。 lim_（x-> 0 ^ +）y = ooおよびlim_（x-> 0 ^ - ）y = -ooであるため、不連続グラフがあります{1 / x [-16.02、16.01、-8.01、8.01]}。一方、xを大きくして大きくすると、yは次第に小さくなりますが、0にはなりません。これは、水平漸近線y = 0です。lim_（x - > + oo）y = 0およびlim_（x） - > - oo）y = 0もちろん、格子関数は通常もっと複雑です。例えば、y =（2x-5）/（x + 4）やy = x ^ 2 /（x ^ 2-1）ですが、同じ後者の例では、x ^ 2-1 =（x-1）（x + 1） - > x！= + 1とx！= - 1のグラフ{x ^ 2 /（ x ^ 2-1）[-22.8、22.81、-11.4、11.42]} 続きを読む »

F '（x）= 72x-18一般に、積則は、f（x）= g（x）h（x）で、g（x）とh（x）がxのいくつかの関数であれば、f'（ ｘ） ｇ '（ｘ）ｈ（ｘ） ｇ（ｘ）ｈ'（ｘ）。この場合、g（x）= 6 x-4かつh（x）= 6 x + 1であるので、g '（x）= 6かつh'（x）= 6である。従って、ｆ（ｘ） ６（６ｘ １） ６（６ｘ ４） ７２ｘ １８である。これをチェックするには、まずgとhの積を計算し、次に微分します。 f（x）= 36x ^ 2-18x-4なので、f '（x）= 72x-18です。 続きを読む »

閉じた区間[a、b]内の関数の絶対極値は、その区間内の局所的な極値、またはその仮数がaまたはbである点です。それでは、極値を見つけよう。y '= 2 *（1 *（x ^ 2 + 1）-x * 2x）/（x ^ 2 + 1）^ 2 = 2 *（ - x ^ 2 + 1）/ （x ^ 2 + 1）^ 2。 -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1の場合、y '> = 0です。したがって、関数は[-2、-1）と（1,2）で減少し、（-1,1）で増加しています。したがって、点A（-1-1）は極小値であり、 B（1,1）は極大値なので、区間の極値にある点の縦座標を見てみましょう：y（-2）= - 4 / 5rArrC（-2、-4 / 5）y（2）= 4 / 5rArrD（2,4 / 5）。候補はA（-1-1）B（1,1）C（-2、-4 / 5）D（2,4 / 5）であり、簡単です。ご覧のように絶対極値はAとBであることを理解するために：graph {2x /（x ^ 2 + 1）[-2、2、-5、5]} 続きを読む »