Tan(x - y)= xの導関数はどうやって見つけるのですか?

Tan(x - y)= xの導関数はどうやって見つけるのですか?
Anonim

回答:

#(dy)/(dx)= x ^ 2 /(1 + x ^ 2)#

説明:

私はあなたが見つけたいと思います #(dy)/(dx)#。そのためには、まず次の式が必要です。 #y# の面では #バツ#。この問題にはさまざまな解決策があることに注意してください。 #tan(x)# 周期関数です。 #tan(x-y)= x# 複数の解決策があります。ただし、接線関数の周期はわかっているので、#pi#)、私たちは以下を行うことができます: #x-y = tan ^( - 1)x + npi#どこで #tan ^( - 1)# の間の値を与える接線の逆関数 #-pi / 2# そして #pi / 2# そしてその要因 #npi# 接線の周期性を説明するために追加されました。

これは私たちに与えます #y = x-tan ^( - 1)x-npi#だから、 #(dy)/(dx)= 1-d /(dx)tan ^( - 1)x#、その要因に注意してください #npi# 消えました。今、私たちは見つける必要があります #d /(dx)tan ^( - 1)x#。これはかなりトリッキーですが、逆関数の定理を使って実行できます。

設定 #u = tan ^( - 1)x#、 我々は持っています #x = tanu = sinu / cosu#、 そう #(dx)/(du)=(cos ^ 2u + sin ^ 2u)/ cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u#商の法則といくつかの三角恒等式を使って。逆関数の定理を使うと #(dx)/(du)# 連続的でゼロではない #(du)/(dx)= 1 /(((dx)/(du))#)、 我々は持っています #(du)/(dx)= cos ^ 2u#。今、私たちは表現する必要があります #cos ^ 2u# xに関して。

これを行うには、三角法を使用します。辺を持つ直角三角形を考える #a、b、c# どこで #c# 斜辺です #a、b# 直角に接続されています。もし #u# 横の角度 #c# 横交差 #a#、 我々は持っています #x = tanu = b / a#。シンボルと #a、b、c# 方程式において、我々はこれらの辺の長さを表す。 #cosu = a / c# そしてピタゴラスの定理を使って、 #c = sqrt(a ^ 2 + b ^ 2)= asqrt(1+(b / a)^ 2)= asqrt(1 + x ^ 2)#。これは与える #cosu = 1 / sqrt(1 + x ^ 2)#、 そう #(du)/(dx)= 1 /(1 + x ^ 2)#.

以来 #u = tan ^( - 1)x#これを次の式に代入することができます。 #(dy)/(dx)# 見つけて #(dy)/(dx)= 1-1 /(1 + x ^ 2)= x ^ 2 /(1 + x ^ 2)#.