1 / sqrt（tanx）dx =？の積分

回答：

#1 /（sqrt2）tan ^ -1（（tanx-1）/（sqrt（2tanx））） - 1 /（2sqrt2）ln |（tanx-sqrt（2tanx）+1）/（tanx-sqrt（2tanx） +1）| + C#

説明：

u置換で始まります。 #u = sqrt（tanx）#

の導関数 #u# です：

#（du）/ dx =（sec ^ 2（x））/（2sqrt（tanx））#

それで我々はそれに関して分割するために統合する #u# （そして、分数で割ることはその逆数で掛けることと同じです）：

#int 1 / sqrt（tanx） dx =整数 1 / sqrt（tanx）*（2sqrt（tanx））/ sec ^ 2x du =#

#= int 2 / sec ^ 2x du#

統合できないので #バツ#に関してです #u#私たちは以下のアイデンティティを使います。

#sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1#

これは与える：

#int 2 /（tan ^ 2x + 1） du = int 2 /（1 + u ^ 4） du = 2int 1 /（1 + u ^ 4） du#

この残りの積分はどちらかといえば面倒な部分分数分解を使っているので、ここでは行いません。あなたがそれがどのようにうまくいくかに興味があるならば、この答えを見てください：

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

#2int 1 /（1 + u ^ 4） du = 2（1 /（2sqrt2）tan ^ -1（（u ^ 2-1）/（sqrt2u）） - 1 /（4sqrt2）ln |（u ^） 2-sqrt2u + 1）/（u ^ 2-sqrt2u + 1）|）+ C =#

#= 1 /（sqrt2）tan ^ -1（（u ^ 2-1）/（sqrt2u）） - 1 /（2sqrt2）ln |（u ^ 2-sqrt2u + 1）/（u ^ 2-sqrt2u + 1） ）| + C#

の再代入 #u = sqrt（tanx）#、 我々が得る：

#1 /（sqrt2）tan ^ -1（（tanx-1）/（sqrt（2tanx））） - 1 /（2sqrt2）ln |（tanx-sqrt（2tanx）+1）/（tanx-sqrt（2tanx） +1）| + C#

回答：

#= 1 / sqrt（2）tan ^ -1（（tanx-1）/（sqrt（2tanx））） - 1 /（2sqrt（2））ln |（tanx + 1-sqrt（2tanx））/（tanx） + 1 + sqrt（2tanx））| + c#

説明：

#I = int1 / sqrt（tanx）dx#

しましょう、 #sqrt（tanx）= t => tanx = t ^ 2 => sec ^ 2xdx = 2tdt#

#=>（1 + tan ^ 2x）dx = 2tdt => dx =（2tdt）/（1+（t ^ 2）^ 2#

#:. I = int1 / cancelt *（2 * cancelt * dt）/（1 + t ^ 4）= int2 /（1 + t ^ 4）dt#

#= int（t ^ 2 + 1）/（1 + t ^ 4）dt-int（t ^ 2-1）/（1 + t ^ 4）dt = int（1 + 1 / t ^ 2）/（ t ^ 2 + 1 / t ^ 2）dt-int（1-1 / t ^ 2）/（t ^ 2 + 1 / t ^ 2）dt#

#= int（1 + 1 / t ^ 2）/（（t-1 / t）^ 2 + 2）dt-int（1-1 / t ^ 2）/（（t + 1 / t）^ 2- 2）dt#

取る、#（t-1 / t）= uと（t + 1 / t）= v##=>（1 + 1 / t ^ 2）dt = duand（1-1 / t ^ 2）dt = dv##=> I = int1 /（u ^ 2 +（sqrt（2））^ 2）du-int1 /（v ^ 2-（sqrt（2））^ 2）dv = 1 / sqrt（2）tan ^ - 1（u / sqrt（2）） - 1 /（2sqrt（2））ln |（v-sqrt2）/（v + sqrt2）| + c = 1 / sqrt（2）tan ^ -1（（t-1） / t）/ sqrt（2） - 1 /（2sqrt（2））ln |（（t + 1 / t） - sqrt2）/（（t + 1 / t）+ sqrt2）| + c##= 1 / sqrt（2）tan ^ -1（（t ^ 2-1）/（sqrt（2）t）） - 1 /（2sqrt（2））ln |（（t ^ 2 + 1-sqrt（ 2）t））/（（t ^ 2 + 1 + sqrt（2）t））| + c#

#= 1 / sqrt（2）tan ^ -1（（tanx-1）/（sqrt（2tanx））） - 1 /（2sqrt（2））ln |（tanx + 1-sqrt（2tanx））/（tanx） + 1 + sqrt（2tanx））| + c#