どうやって（x ^ 2）/（sqrt（4-（9（x ^ 2）））の積分を見つけるのですか？

回答：

#int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -1 / 18xsqrt（4-9x ^ 2）-2 / 27cos ^（ - 1）（（3x）/ 2）+ c#

説明：

この問題を理解するために #4-9x ^ 2> = 0#、 そう #-2 / 3 <= x <= 2/3#。それ故私達は選ぶことができます #0 <= u <= pi# そのような #x = 2/3 cosu#。これを使って、変数xを積分で代入することができます。 #dx = -2 / 3シヌドゥ#: #int x ^ 2 / sqrt（4〜9 x ^ 2）dx = -4 / 27intcos ^ 2u /（sqrt（1-cos ^ 2u））sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu# ここでそれを使う #1-cos ^ 2u = sin ^ 2u# そしてそれのために #0 <= u <= pi# #sinu> = 0#.

今度は私達は見つけるために部品による統合を使用します #intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu#。だから #intcos ^ 2udu = 1/2（sinucosu + u + c）#.

それで我々は見つけました #int x ^ 2 / sqrt（4〜9 x ^ 2）dx = -2 / 27（sinucosu + u + c）#、今私達は代用します #バツ# 戻る #u#、を使って #u = cos ^（ - 1）（（3x）/ 2）#、 そう #int x ^ 2 / sqrt（4〜9 x ^ 2）dx = -1 / 9 x sin（cos ^（ - 1）（（3x）/ 2）） - 2 / 27cos ^（ - 1）（（3x）/ 2 ）+ c#.

三角形の観点からサインとコサインの定義を使用することによってこれをさらに単純化することができます。角度のある直角三角形 #u# 正しくない角の1つで、 #sinu = "反対側" / "最長側"#その間 #cosu = "隣接辺" / "最長辺"#知っているので #cosu =（3x）/ 2#隣接する辺を選ぶことができます #3x# そして最も長い側 #2#。ピタゴラスの定理を使って、反対側が #sqrt（4-9x ^ 2）#、 そう #sin（cos ^（ - 1）（（3x）/ 2））= sinu = 1/2 sqrt（4-9x ^ 2）#。だから #int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -1 / 18xsqrt（4-9x ^ 2）-2 / 27cos ^（ - 1）（（3x）/ 2）+ c#.