回答：
#35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561（79 / 2ln（x ^ 2 + 2）+ 47sqrt2tan ^ -1（（sqrt2x）/ 2））+ C#
説明：
分母はすでに因数分解されているので、部分分数を計算するために必要なことは定数を求めることだけです。
#（3x ^ 2-x）/（（x ^ 2 + 2）（x-3）（x-7））=（Ax + B）/（x ^ 2 + 2）+ C /（x-3） + D /（x-7）#
両方とも必要です #バツ# 分子は常に分母より1度低いため、左端の分数には定数項があります。
左側の分母を乗じることができますが、それは膨大な量の作業になるため、代わりにスマートにして隠蔽法を使用することができます。
私は詳細にプロセスを説明しませんが、本質的に私たちがしているのは分母がゼロに等しくなるものを見つけることです。 #C# それは #x = 3#）を左辺に差し込み、定数に対応する因子を隠しながら評価すると、次のようになります。
#C =（3（3）^ 2-3）/（（3 ^ 2 + 2）（テキスト（////））（3-7））= - 6/11#
我々は同じことをすることができます #D#:
#D =（3（7）^ 2-7）/（（7 ^ 2 + 2）（7-3）（text（////）））= 35/51#
隠蔽法は線形因子に対してのみ有効であるため、次のようにして解決することを余儀なくされています。 #A# そして #B# 伝統的な方法を使い、左辺の分母を乗じる。
#3x ^ 2-x =（Ax + B）（x-3）（x-7）-6 / 11（x ^ 2 + 2）（x-7）+ 35/51（x ^ 2 + 2）（ x-3）#
我々が括弧の全てを通して乗算し、そして様々なものの全ての係数を等しくするならば #バツ# そして定数項、我々はの値を見つけることができます #A# そして #B#。それはかなり長い計算です、それで私はただ興味がある人なら誰でものためにリンクを残すつもりです：
ここをクリック
#A = -79 / 561#
#B = -94 / 561#
これは私達の積分がであることを与える：
#int 35 /（51（x-7）） - 6 /（11（x-3）） - （79x + 94）/（561（x ^ 2 + 2）） dx#
最初の2つは、分母のかなり単純なu-置換を使って解くことができます。
#35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int （79x）/（x ^ 2 + 2）+ 94 /（x ^ 2 + 2） dx#
残りの積分を2つに分割することができます。
#int （79x）/（x ^ 2 + 2）+ 94 /（x ^ 2 + 2） dx = int （79x）/（x ^ 2 + 2） dx + int 94 /（x ^ 2 + 2） dx#
私は左のものを整数1、右のものを整数2と呼びます。
積分1
この積分は、のu置換によって解くことができます。 #u = x ^ 2 + 2#。導関数は #2x#なので、 #2x# に関して統合する #u#:
#79int x /（x ^ 2 + 2） dx = 79int cancel（x）/（2cancel（x）u） du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C#
積分2
この積分をの形にしたいのです。 #tan ^ -1#:
#int 1 /（1 + t ^ 2） dt = tan ^ -1（t）+ C#
で置換を導入すると #x = sqrt2u#そうすれば、私たちの積分をこの形式に変換することができます。に関して統合する #u#、を掛けなければなりません #sqrt2# （私達はに関して微分を取ったので #u# の代わりに #バツ#):
#94int 1 /（x ^ 2 + 2） dx = 94sqrt2int 1 /（（（sqrt2u）^ 2 + 2） du =#
#= 94sqrt2int 1 /（2u ^ 2 + 2） du = 94 / 2sqrt2int 1 /（u ^ 2 + 1） du =#
#= 47sqrt2tan ^ -1（u）+ C = 47sqrt2tan ^ -1（x / sqrt2）+ C#
元の積分を完了する
積分1と積分2が等しいことがわかったので、元の積分を完成して最終的な答えを得ることができます。
#35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561（79 / 2ln（x ^ 2 + 2）+ 47sqrt2tan ^ -1（（sqrt2x）/ 2））+ C#
