結石

変更なしf '' ''（x）= - 5e ^ x 4回だけ導出するe ^ xf（x）= e ^ x rArre ^ xf（x）= - 5e ^ x f '（x）= -5e ^ x f ''（x）= - 5e ^ x f '' '（x）= - 5e ^ x f' '' '（x）= - 5e ^ x 続きを読む »

Ln（2）+ 1/2（x-2）-1/8（x-2）^ 2 + 1/24（x-2）^ 3。解析関数fのaを中心とするテイラー展開の一般形は、次のようになります。f（x）= sum_ {n = 0} ^ oof（（n））（a）/（n！）（x-a）^ n。ここで、f ^（（n））はfのn次導関数です。 3次テイラー多項式は、完全テイラー展開の最初の4つ（nは0から3までの範囲）の項からなる多項式です。したがって、この多項式は、次のようになります。f（a）+ f '（a）（xa）+（f' '（a））/ 2（xa）^ 2 +（f' ''（a））/ 6（xa）^ 3 。 f（x）= ln（x）、したがってf '（x）= 1 / x、f' '（x）= - 1 / x ^ 2、f' ''（x）= 2 / x ^ 3。したがって、3次テイラー多項式は次のようになります。ln（a）+ 1 / a（x-a）-1 /（2a ^ 2）（x-a）^ 2 + 1 /（3a ^ 3）（x-a）^ 3。これでa = 2となり、多項式が得られます。ln（2）+ 1/2（x-2）-1/8（x-2）^ 2 + 1/24（x-2）^ 3。 続きを読む »

答え：[-6 / 5、oo）の範囲内のドメインx [0、oo）ドメインに対しては、sqrt（y） - > y> = 0 ln（y） - > y> 0 1 /であることに注意してください。 y-> y！= 0その後、あなたはあなたにドメインを与える不平等につながるでしょう。この関数は線形関数と二乗関数の組み合わせです。線形はドメインRRを持ちます。ただし、平方関数は平方の内側に正の数がなければなりません。したがって、（5x + 6）/ 2> = 0 2は正であるので：5x + 6> = 0 5x> = -6 5は正であるため：x> = -6/5関数の定義域は次のとおりです。 -6 / 5、oo）根関数（外部関数）の範囲は[0、oo）です（無限大部分はx-> ooとしての極限で証明できます）。 続きを読む »

F '（x）=（ye ^ y）/（（yx）^ 2 + ye ^ y-xe ^ y + xe ^ y）最初に、いくつかの計算法則f（x）= 2x + 4を使って自分自身を結びつけなければなりません。 2xと4を別々に微分することができますf '（x）= dy / dx2x + dy / dx4 = 2 + 0 = 2同様に、4、yと - （xe ^ y）/（yx）を別々に微分することができます。 / dxy-dy / dx（xe ^ y）/（yx）微分定数dy / dx4 = 0 0 = dy / dxy-dy / dx（xe ^ y）/（yx）同様に、yを微分するための規則はdy / dxy = dy / dx 0 = dy / dx-dy / dx（xe ^ y）/（yx）最後に（xe ^ y）/（yx）を微分するには、商法を用いなければなりませんxe ^ y = u商規則は（vu'-uv '）/ v ^ 2（du）/ dx =（du）/ dxx-（du）/ dxe ^ yである。eを導出するとき、次のような連鎖規則を使用する。 ^ y rArr（du）/ dxe ^ yだからu '= 1-dy / dxe ^ y yx = vだからv' =（dv）/ dxy-（dv）/ dxx上と同じ規則を使うとv '=になるdy / dx-1今度は、商法（vu'-uv '）/ v 続きを読む »

Dy / dx =（ye ^（xy）y ^ 3）/（x-xe ^（xy）y ^ 2）1 = x / ye ^（xy）まず各部分を別々に区別できることを知っておく必要がありますy = 2x + 3 2xと3を別々に区別することができますdy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0したがって、同様に1、x / yおよびe ^（xy）を区別することができますdy / dxx / y-dy / dxe ^（xy）規則1：定数のdy / dxC rArr 0導関数は0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^（xy）dy / dxx / yです。商則規則2を使ってこれを区別する：dy / dxu / v rArr（（du）/ dxv-（dv）/ dxu）/ v ^ 2または（vu'-uv '）/ v ^ 2 u = x rArr u' = 1規則2：y ^ n rArr（ny ^（n-1）dy / dx）v = y rArr v '= dy / dx（vu' + uv '）/ v ^ 2 =（1y-dy / dxx） / y ^ 2 0 =（1y-dy / dxx）/ y ^ 2-dy / dxe ^（xy）最後に、連鎖と積則の規則3の混合を使用してe ^（xy）を微分する必要があります。e ^したがって、この場合、u = xyは積の 続きを読む »

F '（x）=（4e ^（2x））/（1 + e ^（2x））^ 2sin（（1-e ^（2x））/（1 + e ^（2x）））鎖の規則の内側の商の規則余弦の鎖の規則cos（s）rArr s '* - sin（s）今度は商の規則s =（1-e ^（2x））/（1 + e ^（ 2x））dy / dxu / v =（u'v-v'u）/ v ^ 2 eを導き出すための規則e規則：e ^ u rArr u'e ^ u上と下の両方の関数を導き出す1-e ^（2x） ）rArr 0-2e ^（2x）1 + e ^（2x）rArr 0 + 2e ^（2x）商ルールs '=（u'v-v'u）/ v ^ 2 =（ - 2e） ^（2x）（1 + e ^（2x）） - 2e ^（2x）（1-e ^（2x）））/（1 + e ^（2x））^ 2単にs '=（ - 2e ^（ 2x）（（1 + e ^（2x））+（1-e ^（2x）））/（1 + e ^（2x））^ 2 s '=（ - 2e ^（2x）（2）） /（1 + e ^（2x））^ 2 =（ - 4e ^（2x））/（1 + e ^（2x））^ 2 cos（s）cos（s）の微分方程式に戻すrArr s '* - sin（s）s' * - sin（s）= - （ - 4e ^（2x））/（1 + e ^（2 続きを読む »

A = 2sqrt2パラメトリックアーク長の公式は次のとおりです。A = int_a ^ b sqrt（（dx / dt）^ 2 +（dy / dt）^ 2） dt 2つの導関数dx / dt = 1とdy / dt = 1これにより、円弧長は次のようになります。A = int_2 ^ 4sqrt（1 ^ 2 + 1 ^ 2） dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2実際にはパラメトリック関数はとても単純なので（直線です）、積分式さえ必要ありません。関数をグラフにプロットすると、正規の距離公式を使うことができます。A = sqrt（（x_1-x_2）^ 2 +（y_1-y_2）^ 2）= sqrt（4 + 4）= sqrt8 = sqrt（ 4 * 2）= 2sqrt2これは積分と同じ結果になり、どちらの方法でも動作することがわかります。ただし、この場合はグラフィカルな方法の方が簡単なのでお勧めします。 続きを読む »

=>（2sqrt3）/ 3 tan ^（ - 1）（（2x-1）/ sqrt3）+ c続けて... 3/4とするとu ^ 2 =（x-1/2）^ 2 => sqrt（ 3）/ 2 u = x-1/2 => sqrt（3）/ 2 du = dx => int 1 /（3 / 4u ^ 2 + 3/4）* sqrt（3）/ 2 du => sqrt3 / 2 int 1 /（3/4（u ^ 2 + 1））du =>（2sqrt3）/ 3 int 1 /（u ^ 2 + 1）duメモリにコミットする必要があるものを使用しています... =>（ 2sqrt3）/ 3 tan ^（ - 1）u + c => u =（2x-1）/ sqrt3 =>（2sqrt3）/ 3 tan ^（ - 1）（（2x-1）/ sqrt3）+ c 続きを読む »

F（x）はx = -3で凹面になります。注意：凹面上=凸面、凹面下=凹面まず、関数が上に凹、下に凹になる区間を見つける必要があります。これを行うには、2次導関数を見つけ、それをゼロに設定してxの値を見つけます。f（x）=（x-9）^ 3 - x + 15 d / dx = 3（x- 9）^ 2 - 1 d ^ 2 / dx ^ 2 = 6（x-9）0 = 6x - 54 x = 9これで、正数と負数の区間について、この数の両側の2階微分でx値をテストします。 x <9の場合、正の区間は上に凹、負の区間は負の下に対応します。x> 9：正の場合（負の上）、x = -3のxの値は、次のようになります。 3は区間の9の左側にあるため、f（x）はx = -3で凹になります。 続きを読む »

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin（2x）-e ^ x / 5cos（2x）+ C最初に次の恒等式を使うことができます。2sinthetacostheta = sin2xこれは次の式で与えられます。 2int e ^ xsin（2x） dxこれで、部品による統合を使用できます。式は次のとおりです。int f（x）g '（x） dx = f（x）g（x）-int f'（x）g（x） dx f（x）= sin（） ２ｘ）およびｇ '（ｘ） ｅ ｘ ／ ２である。式を適用すると、次のようになります。int e ^ x / 2sin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-int cos（2x）e ^ x dxこれで、もう一度部分積分を適用できます。 、今度はf（x）= cos（2x）、g '（x）= e ^ x：int e ^ x / 2sin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-（cos（ 2x）e ^ x-int -2sin（2x）e ^ x dx）1 / 2int e ^ xsin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-cos（2x）e ^ x- 2int sin（2x）e ^ x dxこれで等式の両側に積分があるので、方程式のように解くことができます。まず、両側に2倍の積分を加えます。5 / 2int e ^ xsin（2x） 続きを読む »

一般解は次のとおりです。y = 1-1 /（e ^ t + C）次のようになります。dy / dt = e ^ t（y-1）^ 2類似変数の項を集めることができます。1 /（y-1） ^ 2 dy / dt = e ^ tこれは分離可能な1次の通常の非線形微分方程式なので、次のように「変数を分離する」ことができます。int 1 /（y-1）^ 2 dy = int e ^ t dtどちらの積分も標準関数の積分であるため、その知識を使用して直接積分することができます。-1 /（y-1）= e ^ t + Cそして、yを簡単に並べ替えることができます。 - （y-1） = 1 /（e ^ t + C）：。 1-y = 1 /（e ^ t + C）一般解に至るまで：y = 1-1 /（e ^ t + C） 続きを読む »

直接比較テストによる収束直接比較テストを使用することができます。sum_（n = 1）^ oocos（1 / k）/（9k ^ 2）、つまりIEの場合、系列は1から始まります。直接比較検定を使用するには、a_k = cos（1 / k）/（9k ^ 2）が[1、oo）に対して正であることを証明する必要があります。まず、区間[1、oo）では、cos（1 / k）が正であることに注意してください。 xの値 = 1、1 / k ｏ ０）ｃｏｓ（１ ／ ｋ） ｃｏｓ（０） １である。それから、すべてのkに対して新しいシーケンスb_k = 1 /（9k ^ 2）> = a_kを定義できます。さて、sum_（k = 1）^ oo1 /（9k ^ 2）= 1 / 9sum_（k = 1）^ oo1 / k ^ 2これはpシリーズ検定で収束することがわかっています。これはsum1 / 続きを読む »

D /（dx）ln（e ^（4x）+ 3x）=（4e ^（4x）+ 3）/（e ^（4x）+ 3x）lnxの微分は1 / xだからlnの微分（e ^（ （4x）+ 3x）は1 /（e ^（4x）+ 3x）d / dx（e ^（4x）+ 3x）（チェインルール）e ^（4x）+ 3xの微分は4e ^（4x）+3したがって、ln（e ^（4x）+ 3x）の導関数は、1 /（e ^（4x）+ 3x）*（4e ^（4x）+ 3）=（4e ^（4x）+ 3）/（e ^（ 4倍速+ 3倍速） 続きを読む »

このように：反導関数または原始関数は関数を統合することによって達成されます。ここでの経験則は、多項式である関数の逆導関数/積分を見つけることです。関数を取り出してxのすべてのインデックスを1ずつ増やし、次に各項を新しいxのインデックスで除算します。あるいは数学的には次のようになります。int x ^ n = x ^（n + 1）/（n + 1）（+ C）この問題では定数は任意ですが、関数に定数を追加することもできます。さて、私達の規則を使って原始関数F（x）を見つけることができます。 F（x）=（（8 x ^（3 + 1））/（3 + 1））+（（5 x ^（2 + 1））/（2 + 1））+（（ - - 9 x ^（1 + 1） ））/（1 + 1））+（（3x ^（0 + 1））/（0 + 1））（+ C）問題の用語にxが含まれていない場合は、プリミティブにxが含まれます。 x ^ 0 = 1なので、x項すべてのインデックスを上げると、x ^ 0からx ^ 1に変わります。これはxと同じです。そのため、逆導関数を単純化すると、F（x）= 2x ^ 4 +（（5x ^ 3）/ 3） - （（9x ^ 2）/ 2）+ 3x（+ C）となります。 続きを読む »

Y = 1 / 108x-3135/56接線の法線は接線に対して垂直です。元の関数の導関数を使用して接線の傾きを求め、次に反対の逆数を求めて同じ点における法線の傾きを求めることができます。 f（x）= 3x ^ 4-x ^ 3 f '（x）= 12x ^ 3-3x ^ 2 f'（ - 2）= 12（-2）^ 3-3（-2）^ 2 = 12（ -8）-3（4）= - 108 -108が接線の傾きの場合、法線の傾きは1/108です。法線が交差するf（x）上の点は（-2、-56）です。法線の方程式を点勾配の形で書くことができます。y + 56 = 1/108（x + 2）勾配切片の形で：y = 1 / 108x-3135/56 続きを読む »

Y = x / 4 + 23/4 f（x）= x ^ 3 + 3x ^ 2 + 7x-1勾配関数は一次導関数ですf '（x）= 3x ^ 2 + 6x + 7 = -1は3-6 + 7 = 4接線に垂直な法線のグラデーションは-1/4です。これがよくわからない場合は、四角い紙にグラデーション4の線を引き、その垂線を引きます。そのため、法線はy = -1 / 4x + cですが、この線は（-1、y）の点を通ります。X = -1のときの元の方程式からy = -1 + 3-7-1 = 6だから6 = -1 / 4 * -1 + c C = 23/4 続きを読む »

（dy）/（dx）= 4/3 * x ^（ - 2/3）+ 8/3 * x ^（1/3） "（一次導関数）"（d ^ 2 y）/（dt ^ 2 ）= 8/9 * x ^（ - 2/3）（ - x ^ -1 + 1） "（2階微分）" y = 4x ^（1/3）+ 2x ^（4/3）（dy） /（dx）= 1/3 * 4 * x ^（（1 / 3-1））+ 4/3 * 2x ^（（4 / 3-1））（dy）/（dx）= 4/3 * x ^（ - 2/3）+ 8/3 * x ^（1/3） "（一次導関数）"（d ^ 2 y）/（dt ^ 2）= - 2/3 * 4/3 * x ^（（ - 2 / 3-1））+ 8/3 * 1/3 * x ^（（1 / 3-1））（d ^ 2 y）/（dt ^ 2）= - 8/9 * x ^（（ - - 5/3））+ 8/9 * x ^（（ - 2/3）（d ^ 2 y）/（dt ^ 2）= 8/9 * x ^（ - 2/3）（ - x ^ -1 + 1） "（2階微分）" 続きを読む »

局所極値の一次微分テストx = cをf（x）の臨界値とします。 f '（x）がx = cの周辺で符号を+から - に変更すると、f（c）は極大値になります。 f '（x）がx = cの周辺で符号を - から+に変更した場合、f（c）は極小値になります。 f '（x）がx = c付近で符号を変えない場合、f（c）は極大値でも極小値でもありません。 続きを読む »

その時点で方程式の一次導関数が正であれば、関数は増加しています。負の場合、関数は減少しています。その時点で方程式の一次導関数が正であれば、関数は増加しています。負の場合、関数は減少しています。関連項目：http://mathworld.wolfram.com/FirstDerivativeTest.html f（x）が静止点x_0で連続しているとします。 x_0から左に伸びる開区間でf ^ '（x）> 0であり、x_0から右に伸びる開区間でf ^'（x）<0の場合、f（x）は極大値（おそらく大域最大値） x_0で。 x_0から左に伸びる開区間でf ^ '（x）<0、x_0から右に伸びる開区間でf ^'（x）> 0の場合、f（x）は極小値（おそらく大域最小値）を持ちます。 x_0で。 f ^ '（x）がx_0から左に伸びる開区間とx_0から右に伸びる開区間とで同じ符号をもつならば、f（x）はx_0に変曲点を持つ。 Weisstein、EricW。「一次微分テスト」 MathWorldから - Wolfram Webリソース。 http://mathworld.wolfram.com/FirstDerivativeTest.html 続きを読む »

局所極値の一次微分テストx = cをf（x）の臨界値とします。 f '（x）がx = cの周辺で符号を+から - に変更すると、f（c）は極大値になります。 f '（x）がx = cの周辺で符号を - から+に変更した場合、f（c）は極小値になります。 f '（x）がx = c付近で符号を変えない場合、f（c）は極大値でも極小値でもありません。 続きを読む »

= 0 lim_（x-> 0）（sin ^ 2x）/ x ---- lim_（x-> 0）（sinx）/ x = 1 lim_（x-> 0）（sinx.sinx）/ x = lim_（x-> 0）（x）/ x（sinx.sinx）/ x lim_（x-> 0）（x）/ x（sinx.sinx）/ x = lim_（x-> 0）x（（ sinx.sinx））/（xx）= lim_（x-> 0）（sinx / x）（sinx / x）（x）lim_（x-> 0）（sinx / x）（sinx / x）（x） = 1.1.x = x lim_（x-> 0）（sin ^ 2x）/ x = lim_（x-> 0）x lim_（x-> 0）x = 0 続きを読む »

1 oo）| a_（n + 1）/ a_n |。 L <1の場合、級数は完全に収束します（したがって収束します）。L> 1の場合、級数は発散します。 L = 1の場合、比率検定は決定的ではありません。しかし、Power Seriesでは、3つのケースが考えられます。べき級数はすべての実数に対して収束します。その収束間隔は（-oo、oo）bです。べき級数はある数x = aで収束します。その収束半径はゼロです。 c。最も頻繁な場合、べき級数は| x-a |について収束します。