回答：
直接比較テストによる収束
説明：
直接比較テストを使用することができます。
#sum_（n = 1）^ oocos（1 / k）/（9k ^ 2）#、IE、シリーズは1から始まります。
直接比較テストを使用するには、次のことを証明する必要があります。 #a_k = cos（1 / k）/（9k ^ 2）# 上向きです #1、oo）#.
まず、間隔に注意してください #1、oo）、cos（1 / k）# ポジティブです。の値について #バツ #cosx# は最初の象限にあります（そしてそれ故に正です）。まあ、 #k> = 1、1 / k そう、 #cos（1 / k）# 確かにポジティブです。
さらに言えば #cos（1 / k）<= 1#のように #lim_（k oo）cos（1 / k）= cos（0）= 1#.
それから、新しいシーケンスを定義できます。
#b_k = 1 /（9k ^ 2）> = a_k# すべてのために #k。#
まあ、
#sum_（k = 1）^ oo1 /（9k ^ 2）= 1 / 9sum_（k = 1）^ oo1 / k ^ 2#
私達はこれがによって収束することを知っている #p-#シリーズテスト、それは形式にあります #sum1 / k ^ p# どこで #p = 2> 1#.
そして、大きい級数が収束するので、小さい級数も収束します。
回答：
直接比較テストで収束します（詳細は下記を参照）。
説明：
余弦の範囲は-1,1です。のグラフをチェックしてください #cos（1 / x）#:
グラフ{cos（1 / x）-10、10、-5、5}
ご覧のとおり、 最大 ここで収束を証明しようとしているので、分子を1に設定してみましょう。
#sum1 /（9k ^ 2）#
今、これは非常に単純な直接比較テストの問題になります。直接比較テストの結果を思い出してください。
任意の級数を考えます #a_n# （それが収束/発散するかどうかはわかりません）、そして収束/発散を知っている系列 #b_n#:
もし #b_n> a_n# そして #b_n# その後収束する #a_n# また収束します。
もし #b_n <a_n# そして #b_n# その後分岐する #a_n# また分岐します。
この関数と比較できます #b_n = 1 / k ^ 2#。これができるのは、それが収束していることがわかっているからです（p検定のため）。
だから、以来 #1 / k ^ 2> 1 /（9k ^ 2）#、そして #1 / k ^ 2# 収束すると、 シリーズ収束
しかし、待って、分子が1のときにこの級数が収束することを証明しただけです。他のすべての値について #cos（1 / k）# 取ることができます？ 1が 最大 分子が取り得る値したがって、これが収束することを証明したので、この級数が分子内の任意の値に収束したことを間接的に証明しました。
:)助けたことを願って
