Maclaurinシリーズこれでどのように展開しますか？ f（x）= int_0 ^ xlog（1-t）/ tdt

回答：

#f（x）= -1 /（ln（10））x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^（n + 1）/（n +1）^ 2#

視覚的：このグラフをチェックしてください

説明：

この積分は、これまでに学んだ通常の統合手法を使用しているため、明らかに評価できません。しかし、これは絶対積分なので、MacLaurin級数を使って、項ごとの積分と呼ばれることを実行できます。

MacLaurinシリーズを見つける必要があります。その関数のn次導関数を見つけたくないので、それを試して、すでに知っているMacLaurinシリーズの1つに当てはめる必要があります。

まず、好きではありません #ログ#;それを作りたい #ln#。これを行うには、基本式の変更を単純に採用できます。

#log（x）= ln（x）/ ln（10）#

だから我々は持っています：

#int_0 ^ xln（1-t）/（tln（10））dt#

なぜこれをするのですか？まあ、今それに気づく #d / dxln（1-t）= -1 /（1-t）# なぜこれがそんなに特別なのですか？まあ、 #1 /（1-x）# 私たちのよく使われるMacLaurinシリーズの一つです：

#1 /（1-x）= 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_（n = 0）^ oox ^ n#

…すべてのために #バツ# に #(-1, 1#

だから、私たちはこの関係を私たちの利益のために使うことができ、そして置き換えることができます。 #ln（1-t）# と #int-1 /（1-t）dt#これを置き換えることができます #ln# MacLaurinシリーズとの用語。これをまとめると次のようになります。

#ln（1-t）/（tln（10））= -1 /（tln（10））int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt#

積分を評価する：

#= -1 /（tln（10））t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^（n + 1）/（n + 1） #

キャンセルする #t# 分母の用語：

#= -1 /（ln（10））1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^（n）/（n + 1）#

そして今、私達は私達が問題を始めた明確な積分を取ります：

#int_0 ^ x（-1 /（ln（10））1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^（n）/（n + 1）） dt#

注意：この問題でゼロ除算を心配する必要がなくなったことに注目してください。これは、元の被積分関数では次のような問題があったためです。 #t# 分母の用語。これは前のステップでキャンセルされたので、不連続性は除去可能であることがわかります。

#= -1 /（ln（10））t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^（n + 1）/（n + 1）^ 2# から評価 #0# に #バツ#

#= -1 /（ln（10））x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^（n + 1）/（n + 1）^ 2 - 0#

#= -1 /（ln（10））x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^（n + 1）/（n + 1）^ 2#

ただし、このシリーズはインターバルでのみ有効であることを認識してください。 #(1, 1#上記で使用したMacLaurinシリーズはこの区間で収束するだけです。このグラフをチェックして、これがどのように見えるのかをよく理解してください。

:)助けたことを願っています