半径Rの球に収まる半径rと高さhの最大の円柱は何ですか。

回答：

選択すればシリンダーの最大容積がわかります

#r = sqrt（2/3）R#、そして #h =（2R）/ sqrt（3）#

この選択により、最大シリンダ容量は次のようになります。

#V =（4πR^ 3）/（3sqrt（3））#

説明：

``

円柱の中心を通る断面を想像し、円柱に高さを持たせる #h#、そして音量 #V#じゃあ、

#h# そして #r# 変えることができます #R# 定数です。シリンダーの容積は標準式で与えられます。

#V = pir ^ 2h#

球の半径 #R# 辺を持つ三角形の斜辺です #r# そして #1/2時間#ピタゴラスを使うと、

# R ^ 2 = r ^ 2 +（1 / 2h）^ 2#

#：。 R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2#

#：。 r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2#

これを体積方程式に代入して、

# V = pir ^ 2h#

#：。 V = pi（R ^ 2-1 / 4h ^ 2）h#

#：。 V =πR ^ 2h-1 /4πh^ 3#

今ボリュームがあります、 #V# 単一変数の関数として #h#、我々はwrtを最大化しようとしています #h# とても差別化 #h# を与えます：

#（dV）/（dh）= pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2#

最小値または最大値 #（dV）/（dh）= 0# そう：

#pi R ^ 2-3 / 4 pih ^ 2 = 0#

#：。 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2#

#：。 ^ 2 = 4/3 R ^ 2#

#：。 h = sqrt（4/3 R ^ 2） ""# （明らかに私たちはte + veルートが欲しいです）

#：。 h =（2R）/ sqrt（3）#

この値で #h# 我々が得る：

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2#

#：。 r ^ 2 = R ^ 2-http：// 3 R ^ 2#

#：。 r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2#

#：。 r = sqrt（2/3）R#

この値が（最大ではなく）最大の音量になることを確認する必要があります。2次微分を見てこれを行います。

#（dV）/（dh）= pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2#

#：。 （d ^ 2V）/（dh ^ 2）= -6 / 4pih#

そして #h> 0# 我々はそれを締めくくる #（d ^ 2V）/（dh ^ 2）<0# そして、指摘された臨界点が求められているように最大につながること。

したがって、選択した場合、円柱の最大体積がわかります。

#r = sqrt（2/3）R#、そして #h =（2R）/ sqrt（3）#

これを選択すると、最大音量は次のようになります。

#V = pi R ^ 2（（2R）/ sqrt（3））-1 / 4pi（（2R）/ sqrt（3））^ 3#

#：。 V =（2πR^ 3）/ sqrt（3） - 1 /4π（（8R ^ 3）/（3sqrt（3）））#

#：。 V =（2πR^ 3）/ sqrt（3） - （2πR^ 3）/（3sqrt（3））#

#：。 V =（4πR^ 3）/（3sqrt（3））#

そして明らかに、球の体積は次の式で与えられます。

#V_s = 4 / 3piR ^ 3#

これは非常に有名な問題で、微積分が発見される前にギリシャの数学者によって研究されました。興味深い特性は、球の体積に対する円柱の体積の比率です。

#V / V_s =（（4πR^ 3）/（3sqrt（3）））/（4 /3πR^ 3）= 1 / sqrt（3）#

言い換えれば、ボリュームの比率は完全に独立しています #R#, #r# または #h# これは非常に驚くべき結果です。