あなたは初等関数に関してこの積分を表現することはできません。
統合の必要性に応じて、統合の方法などを選択できます。
べき級数による統合
それを思い出します #e ^ x# 分析的です #mathbb {R}#、 そう #forall x in mathbb {R}# 次の等式が成り立つ
#e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n！}#
これはつまり
#e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty}（x ^ 3）^ n / {n！} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n！}#
今すぐyoucan統合することができます。
#int e ^ {x ^ 3} dx = int（sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n！}）dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {（3n + 1）n！}#
不完全ガンマ関数による積分
まず、代用 #t = -x ^ 3#:
#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ { - t} t ^ { - 2/3} dt#
関数 #e ^ {x ^ 3}# 連続的です。これは、その基本関数が #F： mathbb {R}から mathbb {R}# そのような
#F（y）= c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ { - y ^ 3} e ^ { - t} t ^ { - 2/3} dt#
これは、関数が #f（t）= e ^ { - t} t ^ { - 2/3}# のようなものです #tから0# それが成り立つ #f（t）~~ t ^ { - 2/3}#つまり、不適切な積分 #int_0 ^ s f（t）dt# 有限である（私が呼ぶ #s = -y ^ 3#).
だからあなたはそれを持っている
#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f（t）dt#
それを注意してください #t ^ { - 2/3} <1時間> 1#。これは #tから+ infty# 私達はそれを得ます #f（t）= e ^ { - t} * t ^ { - 2/3} <e ^ { - t} * 1 = e ^ { - t}#、 そのため #| int_1 ^ {+ infty} f（t）dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ { - t} dt | = e#。だから次の不適切な積分に従う #f（t）# 有限です：
#c '= int_0 ^ {+ infty} f（t）dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ { - t} t ^ {1/3 -1} dt =ガンマ（1/3）#.
我々は書ける：
#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3（int_0 ^ {+ infty} f（t）dt -int_s ^ {+ infty} f（t）dt）#
あれは
#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1 / 3 int_s ^ {+ infty} e ^ { - t} t ^ {1/3 -1} dt#.
最後に
#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3ガンマ（1/3、t）= C + 1/3ガンマ（1/3、-x ^ 3）#
