部分分数を使ってint 1 /（x ^ 2（2x-1））をどのように積分しますか？

回答：

#2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C#

説明：

見つける必要があります #A、B、C# そのような

#1 /（x ^ 2（2x-1））= A / x + B / x ^ 2 + C /（2x-1）#

すべてのために #バツ#.

両側を掛ける #x ^ 2（2x-1）# 取得するため

#1 = Ax（2x-1）+ B（2x-1）+ Cx ^ 2#

#1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2#

#1 =（2A + C）x ^ 2 +（2B-A）x-B#

等化係数は私たちに与えます

#{（2A + C = 0）、（2B-A = 0）、（ - B = 1）：}#

そして私たちは #A = -2、B = -1、C = 4#。これを初期方程式に代入すると、

#1 /（x ^ 2（2x-1））= 4 /（2x-1）-2 / x-1 / x ^ 2#

今、それを一語ずつ統合する

#int 4 /（2x-1） dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx#

取得するため

#2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C#

回答：

答えは #= 1 / x - 2 ln（| x |）+ 2 ln（| 2 x - 1 |）+ C#

説明：

部分分数への分解を実行する

#1 /（x ^ 2（2x-1））= A / x ^ 2 + B / x + C /（2x-1）#

#=（A（2x-1）+ Bx（2x-1）+ C（x ^ 2））/（x ^ 2（2x-1））#

分母は同じです、分子を比較してください

#1 = A（2x-1）+ Bx（2x-1）+ C（x ^ 2）#

みましょう #x = 0#, #=>#, #1 = -A#, #=>#, #A = -1#

みましょう #x = 1/2#, #=>#, #1 = C / 4#, #=>#, #C = 4#

の係数 #x ^ 2#

#0 = 2B + C#

#B = -C / 2 = -4 / 2 = -2#

したがって、

#1 /（x ^ 2（2x-1））= - 1 / x ^ 2-2 / x + 4 /（2x-1）#

そう、

#int（1dx）/（x ^ 2（2x-1））= - int（1dx）/ x ^ 2-int（2dx）/ x + int（4dx）/（2x-1）#

#= 1 / x - 2 ln（| x |）+ 2 ln（| 2 x - 1 |）+ C#