F（pi / 6）= 1の場合、f（x）= int e ^ xcos x-tan ^ 3 x + sin x d xとは何ですか？

回答：

#e ^ x / 2（sin（x）+ cos（x）） - ln | cos（x）| -1 / 2sec ^ 2（x） - cos（x）+ 5/3 + sqrt3 / 2-（1 / 4 + sqrt3 / 4）e ^（pi / 6）+ ln（sqrt3 / 2）#

説明：

積分を3つに分割することから始めます。

#int e ^ xcos（x） dx-int tan ^ 3（x） dx + int sin（x） dx =#

#= int e ^ xcos（x） dx-int tan ^ 3（x） dx-cos（x）#

左の整数を整数1、右の整数を整数2と呼びます。

積分1

ここでは、部品による統合と少しトリックが必要です。部品による統合の公式は次のとおりです。

#int f（x）g '（x） dx = f（x）g（x）-int f'（x）g（x） dx#

この場合は、 #f（x）= e ^ x# そして #g '（x）= cos（x）#。それがわかります

#f '（x）= e ^ x# そして #g（x）= sin（x）#.

これは私たちの不可欠なことです：

#int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x）-int e ^ xsin（x） dx#

今度は部品による統合を再び適用できますが、今回は #g '（x）= sin（x）#:

#int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x） - （ - e ^ xcos（x） - （ - int e ^ xcos（x） dx））#

#int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x）-int e ^ xcos（x） dx#

これで、両側に積分を追加することができます。

#2int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x）#

#int e ^ xcos（x） dx = 1/2（e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x））+ C =#

#= e ^ x / 2（sin（x）+ cos（x））+ C#

積分2

まずアイデンティティを使います。

#tanθ=sinθ/cosθ#

これは与える：

#int tan ^ 3（x） dx = int sin ^ 3（x）/ cos ^ 3（x） dx = int （sin（x）sin ^ 2（x））/ cos ^ 3（x ） dx#

これでピタゴラスのアイデンティティを使うことができます。

#sin ^ 2（θ）= 1-cos ^ 2（θ）#

#int （sin（x）（1-cos ^ 2（x）））/ cos ^ 3（x） dx#

これでu置換を導入することができます #u = cos（x）#。次に導関数で除算します。 #-sin（x）# に関して統合する #u#:

#-int （キャンセル（sin（x））（1-cos ^ 2（x）））/（キャンセル（sin（x））cos ^ 3（x）） du = -int （1-u ^ 2）/ u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du =#

#= int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 /（2u ^ 2）+ C = ln | cos（x）| + 1 /（2cos ^ 2（x））+ C#

元の積分を完了する

Integral 1とIntegral 2を理解したので、これらを元の積分に戻して単純化し、最終的な答えを得ることができます。

#e ^ x / 2（sin（x）+ cos（x）） - ln | cos（x）| -1 / 2sec ^ 2（x） - cos（x）+ C#

逆派生関数がわかったので、定数を求めて解くことができます。

#f（pi / 6）= 1#

#e ^（pi / 6）/ 2（sin（pi / 6）+ cos（pi / 6）） - ln | cos（pi / 6）| -1 / 2sec ^ 2（pi / 6）-cos（pi） / 6）+ C = 1#

#-2 / 3-sqrt（3）/ 2 + 1/2（1/2 + sqrt（3）/ 2）e ^（pi / 6）-ln（sqrt（3）/ 2）+ C = 1#

#C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2 - （1/4 + sqrt3 / 4）e ^（pi / 6）+ ln（sqrt3 / 2）#

#C = 5/3 + sqrt3 / 2 - （1/4 + sqrt3 / 4）e ^（pi / 6）+ ln（sqrt3 / 2）#

これは私達の機能がであることを与えます：

#e ^ x / 2（sin（x）+ cos（x）） - ln | cos（x）| -1 / 2sec ^ 2（x） - cos（x）+ 5/3 + sqrt3 / 2-（1 / 4 + sqrt3 / 4）e ^（pi / 6）+ ln（sqrt3 / 2）#