Int e ^ x sinx cosx dxを統合するにはどうすればいいですか？

回答：

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin（2x）-e ^ x / 5cos（2x）+ C#

説明：

まず、アイデンティティを使います。

#2sinthetacostheta = sin2x#

これは、

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin（2x） dx#

これで、部品による統合を使用できます。式は次のとおりです。

#int f（x）g '（x） dx = f（x）g（x）-int f'（x）g（x） dx#

させていただきます #f（x）= sin（2x）# そして #g '（x）= e ^ x / 2#。式を適用すると、次のようになります。

#int e ^ x / 2sin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-int cos（2x）e ^ x dx#

今度は部品による統合をもう一度適用できますが、今回は #f（x）= cos（2x）# そして #g '（x）= e ^ x#:

#int e ^ x / 2sin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-（cos（2x）e ^ x-int -2sin（2x）e ^ x dx）#

#1 / 2int e ^ xsin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-cos（2x）e ^ x-2int sin（2x）e ^ x dx#

これで等式の両側に積分があるので、方程式のようにそれを解くことができます。まず、両側に2倍の積分を加えます。

#5 / 2int e ^ xsin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-cos（2x）e ^ x + C#

元の積分の係数として半分が欲しいので、両側をで割ります。 #5#:

#1 / 2int e ^ xsin（2x） dx = 1/5（sin（2x）e ^ x / 2-cos（2x）e ^ x）+ C =#

#= e ^ x / 10sin（2x）-e ^ x / 5cos（2x）+ C#

回答：

#int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C#

説明：

我々が求めて：

#I = int e ^ x sinxcosx dx#

アイデンティティを使用してどれ：

#sin 2x - = 2sinxcosx#

次のように書くことができます。

#I = 1/2 int e ^ x sin2x dx#

#I = 1/2 I_S#

便宜上、ここでは

#I_S = int e ^ x sin2x dx#、そして #I_C = int e ^ x cos2x dx#

さて、もう一度部品による統合を行います。

みましょう #{（u、= e ^ x、=>（du）/ dx、= e ^ x）、（（dv）/ dx、= cos 2 x、=> v、= 1/2 sin 2 x）：}#

それから私たちが得るIBP式に差し込む：

#int （e ^ x）（cos2x） dx =（e ^ x）（1 / 2cos2x） - int （1 / 2sin2x）（e ^ x） dx#

#：。 I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx#

#：。 I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S# ….. B}

今、2つの未知数に2つの連立方程式があります。 #I_S#。そして #IC#したがって、BをAに代入すると、

#I_S = -1 / 2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S}#

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S#

#：。 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x#

#：。 I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x}#

につながる：

#I = 1/2 I_S + C#

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C#

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C#