Y =（sinx）^ xの導関数は何ですか？

回答：

#dy / dx =（ln（sinx）+ xcotx）（sinx）^ x#

説明：

対数微分を使用します。

#y =（sinx）^ x#

#lny = ln（（sinx）^ x）= xln（sinx）# （のプロパティを使用 #ln#)

暗黙的に差別化する：（商品ルールと連鎖支配者を使用する）

#1 / y dy / d x = 1 ln（sin x）+ x 1 / sin x cos x#

だから、我々は持っています：

#1 / y dy / dx = ln（sinx）+ x cotx#

解決する #dy / dx# を掛けて #y =（sinx）^ x#, #dy / dx =（ln（sinx）+ xcotx）（sinx）^ x#

回答：

#d / dx（sinx）^ x =（ln（sinx）+ xcotx）（sinx）^ x#

説明：

これを確認する最も簡単な方法は、次のものを使用することです。

#（sinx）^ x = e ^（ln（（sinx）^ x））= e ^（xln（sinx））#

これを微分すると、

#d / dx（sinx）^ x =（d / dxxln（sinx））e ^（xln（sinx））#

#=（ln（sinx）+ xd / dx（ln（sinx）））（sinx）^ x#

#=（ln（sinx）+ x（d / dxsinx）/ sinx）（sinx）^ x#

#=（ln（sinx）+ xcosx / sinx）（sinx）^ x#

#=（ln（sinx）+ xcotx）（sinx）^ x#

今注意しなければならないのは #（sinx）^ x = 0#, #ln（（sinx）^ x）# 未定義です。

しかし、関数の周りの振る舞いを分析すると #バツ#これが成り立つのは、関数がこれが機能するのに十分に振舞うことがわかります、なぜなら、

#（sinx）^ x# 0に近づく

その後：

#ln（（sinx）^ x）# 近づく #-oo#

そう：

#e ^（ln（（sinx）^ x））# 同様に0に近づく

さらに、 #sinx <0#, #ln（（sinx）^ x）# 複素数になります。ただし、これまで使用してきた代数と微積分はすべて複素平面でも機能するため、これは問題になりません。

回答：

もっと一般的には…

説明：

#d / dx f（x）^ g（x） = g（x）/ f（x）f '（x）+ g'（x）ln（f（x）） f（x） ^ g（x）#