微分方程式dy / dt = e ^ t（y-1）^ 2の解は何ですか？

回答：

一般的な解決策は次のとおりです。

#y = 1-1 /（e ^ t + C）#

説明：

我々は持っています：

#dy / dt = e ^ t（y-1）^ 2#

同様の変数の項を集めることができます。

#1 /（y-1）^ 2 dy / dt = e ^ t#

これは分離可能な1次の通常の非線形微分方程式です。 「変数を区切る」 取得するため：

#int 1 /（y-1）^ 2 dy =整数e ^ t dt#

どちらの積分も標準関数の積分であるため、その知識を使って直接統合することができます。

#-1 /（y-1）= e ^ t + C#

そして私達はすぐに整理することができます #y#:

# - （y-1）= 1 /（e ^ t + C）#

#：。 1-y = 1 /（e ^ t + C）#

一般的な解決策につながる：

#y = 1-1 /（e ^ t + C）#

回答：

#y = -1 /（e ^ t + C）+ 1#

説明：

これは分離可能な微分方程式です。つまり、次の形式で書くことができます。

#dy / dx * f（y）= g（x）#

それは両側を統合することによって解決することができます。

#int f（y） dy =整数 g（x） dx#

私たちの場合、最初に積分を正しい形式に分割する必要があります。これは両サイドを #（y-1）^ 2#:

#dy / dt * 1 /（y-1）^ 2 = e ^ tcancel（（y-1）^ 2 /（y-1）^ 2）#

#dy / dt * 1 /（y-1）^ 2 = e ^ t#

今度は私達は両側を統合できます：

#int 1 /（y-1）^ 2 dy = int e ^ t dt#

#int 1 /（y-1）^ 2 dy = e ^ t + C_1#

左手の積分を次の代入で解くことができます。 #u = y-1#:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1#

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1#

#u ^ -1 /（ - 1）+ C_2 = e ^ t + C_1#

再代入（および定数の結合）を行うと、

#-1 /（y-1）= e ^ t + C_3#

両側を掛ける #y-1#:

#-1 =（e ^ t + C_3）（y-1）#

両側をで割る #e ^ t + C_3#:

#-1 /（e ^ t + C_3）= y-1#

#y = -1 /（e ^ t + C）+ 1#