円Aの中心は（6,5）で面積は6 piです。円Bの中心は（12、7）で、面積は48 piです。円は重なっていますか？

回答：

から

#（12-6）^ 2 +（7-5）^ 2 = 40 quad# そして

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

四角形の辺48、6、40を持つ本当の三角形を作ることができるので、これらの円は交差します。

説明：

なぜ無償 #pi#?

面積は #A = pi r ^ 2# そう #r ^ 2 = A / pi# つまり最初の円は半径を持つ #r_1 = sqrt {6}# そして第二 #r_2 =スクエア{48} = 4スクエア{3}#.

センターは #sqrt {（12-6）^ 2 +（7-5）^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10}# 離れて。

したがって、円は次の場合に重なります。 #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10}#.

それはあなたが電卓に手を差し伸べるためにあなたが許されるように醜いです。しかし、それは本当に必要ではありません。迂回して、これがRational Trigonometryを使用してどのように行われるかを見てみましょう。ここでは、長さの2乗にのみ関心があります。 象限.

3象限かどうかテストしたいとしましょう #A、B、C# 3つの共線の点の間の象限です。 #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C}# または #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}、# または #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B}#。我々はそれを書くよ

#pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B}#

二乗、

#C = A + B pm 2平方フィート{AB}#

#C - A-B = pm 2平方フィート{AB}#

二乗して

#（C-A-B）^ 2 = 4AB#

#0 = 4AB - （C-A-B）^ 2#

それが判明

#数学{A} = 4AB - （C-A-B）^ 2#

です 判別式 三角形のために。私達はちょうど示した #mathcal {A} = 0# それは私たちが持っていることを意味します 縮退三角形 3つの共線点から形成されます。もし #mathcal {A}> 0# それなら 本当の三角形 各辺は他の2つの合計よりも小さいです。もし #mathcal {A} <0# 三角形の不等式を満たす辺はありません。そしてこれを時々と呼びます。 想像上の三角形

新しい三角判別式で武装した質問に戻りましょう。 #mathcal {A}#。円が交差する場合、2つの中心と交差の三角形を作ることができるので、辺は長さを持ちます。 #r_1#, #r_2#と中心間の距離 #(6,5)# そして #(12,7)#。我々は持っています

#A = r_1 ^ 2 = 6#

#B = r_2 ^ 2 = 48#

#C =（12-6）^ 2 +（7-5）^ 2 = 40#

#数学{A} = 4AB - （C-A-B）^ 2 = 4（6）（48） - （40 - 6 - 48）^ 2 = 956#

#mathcal {A}> 0# それで私たちは本当の三角形、すなわち重なり合う円を持っています。

ああ、どんな三角形でも #mathcal {A} = 16（text {area}）^ 2#

チェック：アルファ