円Aの中心は（3、5）で、面積は78 piです。円Bの中心は（1、2）で、面積は54 piです。円は重なっていますか？

回答：

はい

説明：

まず、2つの中心間の距離が必要です。 #D = sqrt（（Deltax）^ 2 +（Deltay）^ 2）#

#D = sqrt（（5-2）^ 2 +（3-1）^ 2）= sqrt（3 ^ 2 + 2 ^ 2）= sqrt（9 + 4）= sqrt（13）= 3.61#

これで半径の合計が必要になります。

#D>（r_1 + r_2）; "円は重ならない"#

#D =（r_1 + r_2）;「サークルは触れるだけ」#

#D <（r_1 + r_2）; "円は重なっています"#

#pir_1 "" ^ 2 = 78pi#

#r_1 "" ^ 2 = 78#

#r_1 = sqrt78#

#pir_2 "" ^ 2 = 54pi#

#r_2 "" ^ 2 = 54#

#r_2 = sqrt54#

#sqrt78 + sqrt54 = 16.2#

#16.2>3.61#つまり、円は重なります。

証明：

グラフ{（（（x-3）^ 2 +（y-5）^ 2-54）（（x-1）^ 2 +（y-2）^ 2-78）= 0 -20.33、19.67、-7.36 、12.64}

回答：

これらが重なる場合 #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {（3-1）^ 2 +（5-2）^ 2} = sqrt {13}#

電卓をスキップして確認できます #4（13）（54）ge（78-13-54）^ 2# または #4(13)(54) > 11^2# それは確かにそうです、そうはい、重複しています。

説明：

サークルエリアはもちろん #pi r ^ 2# だから我々は無償を分ける #pi#ｓ。

二乗した半径

#r_1 ^ 2 = 78#

#r_2 ^ 2 = 54#

中心間の距離の2乗

#d ^ 2 =（3-1）^ 2 +（5-2）^ 2 = 13#

基本的に私たちは知りたいのですが #r_1 + r_2 ge d#つまり、2つの半径と中心間の線分から三角形を作成できる場合。

二乗された長さはすべていい整数です、そして私たち全員が本能的に計算機かコンピュータに手を伸ばして、そして平方根をとり始めることはかなり奇妙です。

そうする必要はありませんが、少し迂回する必要があります。ヘロンの公式を使って、地域を呼びましょう。 #Q#.

#Q = sqrt {s（s-a）（s-b）（s-c）}# どこで #s =（a + b + c）/ 2#

#Ｑ ２ （（（ａ ｂ ｃ）／ ２））（（（ａ ｂ ｃ）／ ２） ａ）（（（ａ ｂ ｃ）／ ２） ｂ）（（（ａ） + b + c）/ 2）-c）#

#16Q ^ 2 =（a + b + c）（a + b + c-2a）（a + b + c-2b）（a + b + c-2c）#

#16Q ^ 2 =（a + b + c）（ - a + b + c）（a-b + c）（a + b-c）#

それはすでにHeronより優れています。しかし、私たちは続けます。退屈な話は省きます。

#16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - （a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）#

面積の計算式で予想されるように、これはうまく対称的です。それがより対称的に見えないようにしましょう。想起

#（c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2）^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2#

追加しています、

#16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - （c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2）^ 2#

それは辺の長さの2乗を考えたときの三角形の2乗面積の公式です。後者が合理的であるとき、前者もそうです。

試してみましょう。私たちは好きな面を自由に割り当てることができます。手作業で計算するためには #c# 最大の面

#c ^ 2 = 78#

#a ^ 2 = 54#

#b ^ 2 = 13#

#16Q ^ 2 = 4（54）（13） - （78-54-13）^ 2 = 4（54）13 - 11 ^ 2#

それを計算する前でさえも、私たちにはポジティブなものがあることがわかります。 #16Q ^ 2# 正の領域を持つ本当の三角形なので、円は重なっています。

#16Q ^ 2 = 2687#

私たちが負の値、虚数部を得たならば、それは本当の三角形ではないので、重ならない円。