二等辺三角形は、辺A、B、Cを持ち、辺BとCの長さは同じです。辺Aが（1、4）から（5、1）になり、三角形の面積が15の場合、三角形の3番目の角の座標は何ですか？

回答：

2つの頂点は長さ5の底辺を形成するので、高度はエリア15を取得するために6でなければなりません。足はポイントの中点であり、垂直方向の6単位は次のようになります。 # (33/5, 73/10)# または #(- 3/5, - 23/10) #.

説明：

Pro tip：三角形の辺には小文字、三角形の頂点には大文字の慣例を守るようにしてください。

2点と二等辺三角形の領域があります。 2つの点がベースになります、 #b = sqrt {（5-1）^ 2 +（1-4）^ 2} = 5#

足 #F# 標高の2つの点の中間点

#F =（（1 + 5）/ 2、（4 + 1）/ 2）=（3、5 / 2）#

点の間からの方向ベクトルは #(1-5, 4-1)=(-4,3)# ちょうど5の大きさで計算されています。点を交換し、それらの1つを無効にすることによって、垂線の方向ベクトルを取得します。 #(3,4)# これもマグニチュード5を持っている必要があります。

エリア以来 #A = frac 1 2 b h = 15# 我々が得る #h =（2 * 15）/b=6.#

だから私たちは動く必要があります #6# からの単位 #F# どちらの垂直方向にも、私が呼び出した3番目の頂点を取得します。 #C#:

#C = F pm 6 frac {（3,4）} {5} =（3、5/2） pm 6/5（3,4）#

#C =（33/5、73/10）またはC =（ - 3/5、 - 23/10）#

チェック： #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

署名された領域は外積の半分です

#A = frac 1 2（4（-63/10） - （-3）（ - 8/5））= -15 quad sqrt {}#

これで終わりですが、答えを少し一般化しましょう。二等辺三角形であることを忘れてみましょう。 C（x、y）があれば、その面積は靴ひも式で与えられます。

#A = frac 1 2 | （1）（1） - （4）（5）+ 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

面積は #15#:

# pm 15 = 1/2（3x + 4y - 19）#

#19 pm 30 = 3x + 4y#

#49 = 3x + 4y# または #-11 = 3x + 4y#

したがって、頂点Cがこれら2本の平行線のどちらかにある場合、領域15の三角形ができます。

みましょう #PR = A# 次のように終点の座標を持つ二等辺三角形の辺

#Pto（1,4）# そして #Rto（5,1）#

三角形の3番目の点の座標をとする #（x、y）#.

として #（x、y）# 書くことができるPとRから等距離

#（x-1）^ 2 +（y-4）^ 2 =（x-5）^ 2 +（y-1）^ 2#

#=> x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1#

#=> 8x-6y = 9#

#=> x =（9 + 6y）/ 8 …… 1#

再び #（x、y）# PとRから等距離で、垂線は #（x、y）# に #PR# それを二等分しなければなりません #PR# ある #T#

だから座標 #Tto（3,2.5）#

二等辺三角形の高さ

#H = sqrt（（x-3）^ 2 +（y-2.5）^ 2）#

二等辺三角形の底辺

#PR = A = sqrt（（1-5）^ 2 +（4-1）^ 2）= 5#

だから問題によってその面積

#1 / 2xxAxxH = 15#

#=> H = 30 / A = 30/5 = 6#

#sqrt（（x-3）^ 2 +（y-2.5）^ 2）= 6#

#=>（x-3）^ 2 +（y-2.5）^ 2 = 36 …. 2#

2と1によって、

#（（9 + 6y）/ 8-3）^ 2 +（y-2.5）^ 2 = 36#

#=> 1/64（6y-15）^ 2 +（y-2.5）^ 2 = 36#

#=>（6y-15）^ 2 + 64（y-2.5）^ 2 = 36xx64#

#=> 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2#

#=> 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2#

#=> y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2#

#=>（y-2.5）^ 2 = 4.8 ^ 2#

#=> y = 2.5pm4.8#

そう #y = 7.3とy = -2.3#

いつ #y = 7.3#

#x =（9 + 6xx7.3）/8=6.6#

いつ #y = -2.3#

#x =（9 + 6xx（-2.3））/ 8 = -0.6#

3点目の座標は

#（6.6,7.3）から「図中のQ」へ

または

#（ - 0.6、-2.3）から "S in figure"#