（9、7）、（4、4）、および（8、6）#に角がある三角形のオルソセンターとは何ですか。

回答：

下記参照。

説明：

頂点と呼びます #A =（4,4）#, #B =（9,7）# そして #C =（8,6）#.

2つの辺に垂直で、2つの頂点を通る2つの方程式を見つける必要があります。 2つの辺の傾き、したがって2つの垂線の傾きがわかります。

ABの斜面：

#(7-4)/(9-4)=3/5#

これに垂直な斜面：

#-5/3#

これは頂点Cを通過する必要があるため、線の方程式は次のようになります。

#y-6 = -5 / 3（x- 8）#, #3y = -5x + 58# 1

紀元前の斜面：

#(6-7)/(8-9)=1#

これに垂直な斜面：

#-1#

これは頂点Aを通過しなければならないので、線の方程式は次のようになります。

#y-4 = - （x-4）#, #y = -x + 8# 2

1と2が交差するところがオルソセンターです。

1と2を同時に解く：

#3（-x + 8）= - 5x + 58#

#-3x + 24 = -5x + 58#

#-3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17#

2を使う：

#y = -17 + 8 = -9#

オルソセンター：

#(17, -9)#

三角形は鈍角なので、オルソセンターは三角形の外側にあります。これは、標高線が交差するまで延長すると確認できます。

回答：

オルソセンター

#x_0 = 17、y_0 = -9#

円周

#x_0 = 2、y_0 = 13#

説明：

オルソセンター

与えられた #p_1、p_2、p_3# そして

#vec v_（12）、vec v_（13）、vec v_（23）# そのような

#<< vec v_（12）、p_2-p_1 >> = << vec v_（13）、p_3-p_1 >> = << vec v_（23）、p_3-p_2 >> = 0#

それらのベクトルは簡単に得られます、例えば

#p_1 =（x_1、y_1）# そして #p_2 =（x_2、y_2）# その後

#vec v_（12）=（y_1-y_2、 - （x_1-x_2））#

今我々は持っています

#L_1 - > p_1 + lambda_1 vec v_（23）#

#L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_（13）#

#L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_（12）#

これらの3本の線は三角形のオルソセンターで交差します

選ぶ #L_1、L_2# 我々は持っています

#（x_0、y_0）= "引数"（L_1 nn L_2）# または

#p_1 + lambda_1 vec v_（23）= p_2 + lambda_2 vec v_（13）#

方程式を与える

#{（<< vec v_（13）、vec v_（23）>> lambda_1- << vec v_（13）、vec v_（13）>> lambda_2 = << p_2-p_1、vec v_（13）>> ）（（<< vec v_（23）、vec v_（23）>> lambda_1- << vec v_（23）、vec v_（13）>> lambda_2 = << p_2-p_1、vec v_（23）>> ）：}#

今のために解決 #lambda_1、lambda_2# 我々は持っています

#lambda_1 = -4、lambda_2 = -13#

その後

#p_0 = p_1 +λ_1vec v_（23）= p_2 +λ_2vec v_（13）=（17、-9）#

円周

円周方程式は次式で与えられます。

#C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0#

今なら C#の#{p_1、p_2、p_3} 我々は持っています

#{（x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0）、（x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0）、（x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0）：}#

2番目から1番目を引く

#x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-（x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2）-2x_0（x_2-x_1）-2y_0（y_2-y_1）= 0#

3番目から1番目を引く

#x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-（x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2）-2x_0（x_3-x_1）-2y_0（y_3-y_1）= 0#

連立方程式を与える

#（（x_2-x_1、y_2-y_1）、（x_3-x_1、y_3-y_1））（（x_0）、（y_0））= 1/2（（x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-（x_1 ^ 2 +）） y_1 ^ 2））、（x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-（x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2）））#

与えられた値を代入する

#x_0 = 2、y_0 = 13#

オルソセンター（赤）と外周センター（青）を示すプロットを添付しました。