Int_（1）^（4）x ^ 4-x ^ 3 + sqrt（x-1）/ x ^ 2 dxとは何ですか？

回答：

#1023/5 - （225 - sqrt3）/ 4 + arctan（sqrt3）#

説明：

この説明は少し長いですが、私はそれをするより速い方法を見つけることができませんでした…

積分は線形アプリケーションなので、すでに積分記号の下で関数を分割することができます。

#int_1 ^ 4（x ^ 4 - x ^ 3 +（sqrt（x-1）/ x ^ 2））dx# = #int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt（x-1）/ x ^ 2dx#

最初の2項は多項式関数なので、簡単に統合できます。私はあなたにそれをする方法を紹介します #x ^ 4#.

#intx ^ 4dx = x ^ 5/5# そう #int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5#。あなたはまったく同じことをします #x ^ 3#結果は #255/4#.

見つける #intsqrt（x-1）/ x ^ 2dx# 少し長く複雑です。最初に分数を掛けます #sqrt（x-1）/ sqrt（x-1）# それから変数を変更します。 #u = sqrt（x-1）#。そう #du = 1 /（2sqrt（x-1））dx# そして、あなたは今見つけなければなりません #2intu ^ 2 /（u ^ 2 + 1）^ 2du#。それを見つけるためには、有理関数の部分分数分解が必要です。 #x ^ 2 /（x ^ 2 + 1）^ 2#.

#x ^ 2 /（x ^ 2 + 1）^ 2 =（ax + b）/（x ^ 2 + 1）+（cx + d）/（x ^ 2 + 1）^ 2# と RR#の#a、b、c、d。微積分後、それがわかります。 #x ^ 2 /（x ^ 2 + 1）^ 2 = 1 /（x ^ 2 + 1） - 1 /（x ^ 2 + 1）^ 2#これはつまり #2intu ^ 2 /（u ^ 2 + 1）^ 2du = 2（int（du）/（u ^ 2 + 1） - int（du）/（u ^ 2 + 1）^ 2）#

#int（du）/（u ^ 2 + 1）^ 2# よく知られている、それは #arctan（u）/ 2 + u /（2（1 + u ^ 2））#.

最後に、 #2intu ^ 2 /（u ^ 2 + 1）^ 2du = 2（arctan（u） - arctan（u）/ 2 - u /（2（1 + u ^ 2）））= arctan（u） - u / （1 + u ^ 2）#

交換します #u# その元の表現によって #バツ# 持つ #intsqrt（x-1）/ x ^ 2dx#これは #arctan（sqrt（x-1）） - sqrt（x-1）/ x#

最後に、 #int_1 ^ 4sqrt（x-1）/ x ^ 2dx = arctan（sqrt3） - sqrt3 / 4#