三角関数置換を使ってどのようにint 1 / sqrt（-e ^（2x）-20e ^ x-101）dxを統合しますか？

回答：

#-sqrt（101）/ 101i * ln（（10（（e ^ x + 10）/（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101）+ 1））+ 1-sqrt101）/（10（ （e ^ x + 10）/（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101）+ 1））+ 1 + sqrt101））+ C#

説明：

解決策は少し長いです！

与えられたから #int 1 / sqrt（-e ^（2x）-20e ^ x-101）* dx#

#int 1 /（（（sqrt（-1）* sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101）））* dx#

それに注意してください #i = sqrt（-1）# 虚数

しばらくの間その複素数を取っておき、積分に進む。

#int 1 /（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101））* dx#

広場を完成させ、いくつかのグループ分けをすることによって：

#int 1 /（sqrt（（e ^ x）^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101））* dx#

#int 1 /（sqrt（（（e ^ x）^ 2 + 20e ^ x + 100）-100 + 101））* dx#

#int 1 /（sqrt（（（e ^ x + 10）^ 2-100 + 101）））* dx#

#int 1 /（sqrt（（（e ^ x + 10）^ 2 + 1）））* dx#

最初の三角関数置換：##

鋭角 #w# 反対側 #= e ^ x + 10# と隣 #=1# 斜辺=を持つ#sqrt（（e ^ x + 10）^ 2 + 1）#

みましょう #e ^ x + 10 = tan w#

#e ^ x dx = sec ^ 2 w# #dw#

#dx =（sec ^ 2w * dw）/ e ^ x#

その後

#dx =（sec ^ 2w * dw）/ tan（w-10）#

積分は

#int 1 / sqrt（tan ^ 2w + 1）*（sec ^ 2w * dw）/（tan w-10）#

#int 1 / sqrt（sec ^ 2w）*（sec ^ 2w * dw）/（tan w-10）#

#int 1 /秒w *（秒^ 2w * dw）/（tan w-10）#

#int（secw * dw）/（tan w-10）#

三角法から #sec w = 1 / cos w# そして #tan w = sin w / cos w#

積分は

#int（1 / cos w * dw）/（sin w / cos w-10）# そして

#int（dw）/（sin w-10 cos w）#

2番目の三角関数置換：

みましょう #w = 2 tan ^ -1 z#

#dw = 2 * dz /（1 + z ^ 2）#

そしてまた #z = tan（w / 2）#

直角三角形：鋭角 #w / 2# 反対側 #= z#

隣接面 #=1# と斜辺 #= sqrt（z ^ 2 + 1）#

三角法から：半角公式を思い出す

#sin（w / 2）= sqrt（（1-cos w）/ 2#

#z / sqrt（z ^ 2 + 1）= sqrt（（1-cos w）/ 2#

を解決する #cos w#

#cos w =（1-z ^ 2）/（1 + z ^ 2）#

アイデンティティも使う #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w#

それはそれに続く

#シンw =（2z）/（1 + z ^ 2）#

積分はになります

#int（dw）/（sin w-10 cos w）= int（2 * dz /（1 + z ^ 2））/（（2z）/（1 + z ^ 2）-10 *（1-z ^） 2）/（1 + z ^ 2））#

積分結果を単純化すると

#int（2 * dz）/（2z-10 + 10z ^ 2）#

#int（（1/5）* dz）/（z ^ 2 + z / 5-1）#

広場を完成させることによって：

#int（（1/5）* dz）/（z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1）#

#int（（1/5）* dz）/（（z + 1/10）^ 2-101 / 100）#

#int（（1/5）* dz）/（（z + 1/10）^ 2-（sqrt101 / 10）^ 2）#

今公式を使用しなさい #int（du）/（u ^ 2-a ^ 2）= 1 /（2a）* ln（（u-a）/（u + a））+ C#

みましょう #u = z + 1/10# そして #a = sqrt101 / 10# そしてを含む #i = sqrt（-1）#

元の変数を使用して最終的な答えを書く

#-sqrt（101）/ 101i * ln（（10（（e ^ x + 10）/（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101）+ 1））+ 1-sqrt101）/（10（ （e ^ x + 10）/（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101）+ 1））+ 1 + sqrt101））+ C#