不定積分を評価します。 sqrt（10x-x ^ 2）dx？

回答：

#20 / 3x ^（3/2）-1 / 2x ^ 2 + c#

説明：

#int "" sqrt（10x-x ^ 2） "" dx#

広場を完成させ、

#int "" sqrt（25-（x-5）^ 2） "" dx#

代替 #u = x-5#, #int "" sqrt（25-u ^ 2） "" du#

代替 #u = 5シン（v）# そして #du = 5cos（v）#

#int "" 5cos（v）sqrt（25-25 sin ^ 2（v）） "" dv#

簡素化する、

#int ""（5cos（v））（5cos（v）） "" dv#

リファイン、

#int "" 25cos ^ 2（v） "" dv#

定数を取り出して

#25int "" cos ^ 2（v） "" dv#

二重角公式を適用する、

#25int ""（1 + cos（2v））/ 2 "" dv#

定数を取り出して

#25 / 2int "" 1 + cos（2v） "" dv#

統合する、

#25/2（v + 1 / 2sin（2v）） "+ c#

代用 #v = arcsin（u / 5）# そして #u = x-5#

#25/2（アークサイン（（x-5）/ 5）+キャンセル（1 / 2sin））（キャンセル（2アークサイン）（（x-5）/ 5））） "+ c#

簡素化する、

#25/2（アークサイン（（x-5）/ 5））+ 25/2（（x-5）/ 5）+ c#

リファイン、

#25/2アルクシン（（x-5）/ 5）+ 5/2（x-5）+ c#どこで #c# は積分定数です。

Tadaa：D

回答：

#= 1/2（（（（x-5）sqrt（-5（x ^ 2-10x + 20）））+ 25/2 arcsin（（x-5）/ 5）+ c#

説明：

何ですか #int sqrt（10x - x ^ 2）dx# ?

積分される関数の定義域は、内側の二次式が正であるところです。 0、10#の#x

この表現は置換を使用して統合できます。積分のための可能な経路はすぐには現れませんが、正方形を競合する場合は、三角法による置換を実行できます。

#10x - x ^ 2 = 25 - （x-5）^ 2#

これは、古典的な三角関数の代入形式、つまり、数の2乗から線形の2乗を引いたものです。 #バツ# 関数。

まず、線形を取り除くために、 #u = x-5#これは #du = dx#したがって、上記の積分を次のように書き換えることができます。

#int sqrt（25-u ^ 2）du#

今度は2番目の代用として、 #u = 5シンセタ#これは積分を次のように変更します。

#int sqrt（25 - 25sin ^ 2theta）dx#

#= int abs（5costheta）dx# （我々は絶対値の括弧を無視することができます）

もちろん、 #dx# 助けにはならないので、代入方程式を微分して、 #du = 5 costheta d theta#したがって、積分は次のようになります。

#25 int cos ^ 2シータdシータ#

今、私たちは積分するために二重角公式を使うことができます。 #cos ^ 2シータ# より簡単に：

#cos（2θ）= 2cos ^ 2theta -1#

#： cos ^2θ= 1/2（cos（2θ）+1）#

そのため積分は次のようになります。

#25/2 int cos（2theta）+ 1 d theta#

#= 25/2（1 / 2sin（2θ）+θ）+ c#

#= 25/2（sinthetacostheta + theta）+ c# （ダブルアングル式を使用）

今、 #sintheta = u / 5 =（x-5）/ 5#

したがって、 #cos theta = sqrt（1-u ^ 2/25）= sqrt（（ - - x ^ 2 + 10x-20）/ 25）#

そして、 #theta = arcsin（u / 5）= arcsin（（x-5）/ 5）#

#int sqrt（10x - x ^ 2）dx#

#= 25/2（（（（x-5）sqrt（-5（x ^ 2-20x + 20）））/ 25 +アークサイン（（x-5）/ 5））+ c#

#= 1/2（（（（x-5）sqrt（-5（x ^ 2-10x + 20）））+ 25/2 arcsin（（x-5）/ 5）+ c#