もしあれば、f（x）=（4x-3）^ 2-（x-4）/ xの極値は何ですか？

回答：

唯一の極値は #x = 0.90322 …#最小機能

しかし、あなたはそこに到達するために3次方程式を解く必要があり、答えはまったく「いい」ではありません - あなたは質問が正しく入力されていると確信していますか？また、以下に示す分析量に入らずに回答にアプローチする方法についての提案も含めました。

説明：

1.標準的なアプローチは私たちを面倒な方向に向ける

まず微分を計算します。

#f（x）=（4x-3）^ 2-（x-4）/ x#

そう（連鎖と商法による）

#f '（x）= 4 * 2（4x-3） - （x-（x-4））/ x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2#

それから、これを0に設定して解きます。 #バツ#:

#32x-24-4 / x ^ 2 = 0#

#32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0#

#8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0#

ラジカルで解決できる3次方程式がありますが、これは簡単なプロセスにはほど遠いです。この方程式には一般的に3つの根があることを知っていますが、それらすべてが実数になるわけではありませんが、少なくとも1つは成り立つでしょう - 少なくとも1つは中間値定理からわかるでしょう - http：// ja。 wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - これは、関数が一方の端で無限大に、もう一方の端でマイナス無限大になるため、ある時点または別の時点ですべての値を取る必要があることを示しています。

いくつかの単純な値を試してみると（1はたいてい有益で迅速な値です）、1/2から1の間のどこかに根があることがわかりますが、式を単純化するための明らかな解はありません。 3次方程式を解くのは長くて退屈なプロセスです（これについては後で説明します）。そのためには、直感的に理解しておくことをお勧めします。さらに解決策を試してみると、0.9から0.91の間であることがわかりました。

2.簡単な問題を解決する

この関数は2つの項の違いから成ります。 #f_1（x）=（4x-3）^ 2# そして #f_2（x）=（x-4）/ x#。の範囲の大部分 #バツ#第2項は、のすべての値に対して1に近くなるため、これらのうち最初のものが非常に支配的になります。 #バツ# 小さな値から離れて。 2つの個々の用語がどのように振る舞うのかを聞きましょう。

第一期 #f_1#

#f_1（x）=（4x-3）^ 2#

#f_1 ^ '（x）= 4 * 2（4x-3）= 8（4x-3）#

これをゼロに設定します。 #x = 3/4#。これは我々が発見した関数のゼロの領域にありますが、それに非常に近いわけではありません。

#f（1）# 放物線は #バツ#、に触れるもの #バツ# 軸方向 #x = 3/4#。その導関数は、同じ点でｘ軸を横切る勾配３２の急勾配の直線である。

2期目、 #f_2#

#f_2（x）=（x-4）/ x = 1-4 / x#

#f_2 ^ '（x）= 4 / x ^ 2#

これをゼロに設定してください。 #バツ#。そう #f_2# それ自身の関数として極値はありません。しかしそれは無限に爆発する点を持っています： #x = 0#。負の側から0に近づくと正の無限大になり、正の側から0に近づくと負の無限大になります。この点から離れて、曲線は両側で値1になる傾向があります。 #f_2# を中心とした双曲線です。 #（x、y）=（0,1）#。その導関数は、負と正の2つの部分からなる曲線です。 #バツ#。両方向から正の無限大に向かう #x = 0# そしていつもポジティブです。

ご了承ください #f_1 ^ '（x）<0# すべてのために #x <0#。の交差点はあり得ない #f_1 ^ '# そして #f_2 ^ '# 否定的に #バツ# 軸。ポジティブ以上 #バツ# 軸はちょうど1つの交点がなければなりません - 1つの曲線は次のように0未満から無限大まで続きます #バツ# 他のものが無限大から0まで行く間、同じことをします。中間値定理の適用（上を見てください）によって、それらはちょうど一度交差しなければなりません。

だから今私たちは一つの解決策を探しているだけだと確信していますが、それに対する良い答えはありません。

答えを数値的に近似する

この種の問題の解決を必要とする職業上の状況では、必要な場所に到達するための最も簡単な方法は、数値近似を実行することです。関数の根を見つけるための非常に良い方法は、Newton-Raphson法（http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method）です。

それは、関数の根を見つけることです。 #f#、まず推測する #x_0# 根で、そして次の公式に従ってラウンドとラウンドを繰り返す：

#x_1 = x_0-f（x_0）/（f '（x_0））#

#x_1# よりも良い推測です #x_0#そして、希望の精度に達するまでこれを繰り返すだけです。

関数とその導関数を思い出してください。

#f（x）=（4x-3）^ 2-（x-4）/ x#

#f '（x）= 8（4x-3）-4 / x ^ 2#

だから私達は私達の根として0.5を推測し、 #x_0 = 0.5#, #f（x_0）= 8#, #f '（x_0）= - 24#。このように #f_1 = 0.5 + 8/24 = 0.5 + 1/3 = 0.8333 ….#確かに近い答えです。繰り返すと、上記の約0.9の値になります。

だから私たちは任意の精度で答えを見つけることができますが、完全な答えは分析的な解決策を必要とします。だからここに行きます…

4.ゆっくりと痛みを伴う、完全な問題を解決する

それでは、フルキュービックソリューションを実行しましょう（これを正しく解決するには代数を愛する必要があります）。

まず、先頭の項が係数1になるように分割します。:

#8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0#

#x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0#

次に、変数に次のように置き換えます。 #y# を削除する #x ^ 2# 期間：

代替 #x = y + 1/4#。より一般的には、 #ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0#代用する #x = y-b /（3a）#。代数を使って作業すると、これが常に #x ^ 2# 消えるという言葉。この場合、以下のようになります。

#x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0#

#（y + 1/4）^ 3 -3/4（y + 1/4）^ 2 - 1/8 = 0#

（二項定理を思い出して括弧を広げなさい：http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem）

#y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0#

（2つ #y ^ 2# 用語は正確に相殺されます）

#y ^ 3-3 / 16y = 5/32#

今までと同じ数の用語があります。 #y# 期間。を失う #y ^ 2# 用語は数学的な利益であり、約束されています。

3番目に、これを2次式に変えるために別の代入（Vietaの代用：http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html）を作ります。

代替 #y = w + 1 /（16w）#。より一般的には、 #y ^ 3 + py = q#この置換は #y = w-p /（3w）#.

#y ^ 3-3 / 16y = 5/32#

#（w + 1 /（16w））^ 3-3 / 16（w + 1 /（16w））= 5/32#

#w ^ 3 + 3 / 16w + 3 /（256w）+ 1 /（4096w ^ 3）-3 / 16w-3 / 256w = 5/32#

（両方とも #w# そして #1 / w# 用語は正確に相殺されます）

#w ^ 3 + 1 /（4096w ^ 3）= 5/32#

#w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0#

（さて、あなたはこの利点が一体何なのかとよく尋ねるかもしれません - 確かに損失となる6次方程式を得るまで我々は3次方程式をいじっていました…しかし我々は今これを2次方程式と考えることができますに #w ^ 3#そして、二次方程式を解くことができます…）

第四に、のための二次方程式を解く #w ^ 3#

#w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0#

#（w ^ 3）^ 2-5 / 32（w ^ 3）+ 1/4096 = 0#

二次方程式を使用する：

#w ^ 3 =（5/32 + -sqrt（25 / 1024-1 / 1024））/ 2#

#w ^ 3 =（5/32 + -sqrt（24/1024））/ 2 =（5/32 + -sqrt（24）/ 32）/ 2#

#w ^ 3 =（5 + -sqrt（24））/ 64 =（5 + -2sqrt（6））/ 64#

答えがあります！今それを元の変数に関連付け直すだけです #バツ#.

第五に、元の用語に戻す

#w ^ 3 =（5 + -2sqrt（6））/ 64#

立方根を取ります。

#w = （5 + -2sqrt（6））/ 64 ^（1/3）#

#w =（5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/ 4#

我々がどのように関連したかを思い出してください #y# に #w# 早く： #y = w + 1 /（16w）#

#y =（5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/ 4 + 1 /（4 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））#

今 #1 /（5 + -2sqrt（6） ^（1/3））#

#= 1 /（5 + -2sqrt（6） ^（1/3））*（ - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/（ - 5 + -2sqrt（6） ） ^（1/3））#

#=（ - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/（（（5 + -2sqrt（6））（ - 5 + -2sqrt（6）） ^（1/3）） #

#=（ - - 5 + - 2sqrt（6） ^（1/3））/（ - - 25 + 4 * 6 ^（1/3））#

#=（ - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/（ - 1）= - - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3）#

（Socraticは、プラスマイナスの反対プラスマイナスを提供しているようには見えないので、このように書く必要があります）

このように

#y =（5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/ 4 - （ - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/ 4#

2番目の大きな項でマイナス記号を乗算すると、2つの同じ式が得られることがわかります。したがって、2次のプラス/マイナス記号を削除して、次のように単純化できます。

#y = 1/4（5 + 2sqrt（6） ^（1/3）+ 5-2sqrt（6） ^（1/3））#

最後に（！）設定したことを思い出してください #x = y + 1/4#.

このように

#x =（1+ 5 + 2sqrt（6） ^（1/3）+ 5-2sqrt（6） ^（1/3））/ 4#

第六に、これらの根のうちどれだけが本物なのかを推測する

立方根の2つの式にはそれぞれ、1つの実根と2つの共役虚数根があります。実数 #a# 立方根が3つあります #a ^（1/3）#, #a ^（1/3）（1/2 + isqrt（3）/ 2）#,#a ^（1/3）（1/2 - isqrt（3）/ 2）#。これで、立方根の内側にある両方の式が正であることがわかりました（注意 #5 = sqrt（25）> sqrt（24）= 2sqrt（6）#2番目と3番目の値の虚数成分 #バツ# ゼロにすることはできません。

結論

したがって、実際のルートは1つだけです。 #バツ# （より単純な分析でこれまでずっと結論が出てきたように）、それゆえ、式によって与えられる、あなたが求めている曲線上の唯一の局所極値

#x =（1+ 5 + 2sqrt（6） ^（1/3）+ 5-2sqrt（6） ^（1/3））/ 4#

または、10進数で

#x = 0.90322 …#

極値は1つしかなく、関数は両端で正の無限大になる傾向があるという事実から、これは関数の最小値であると推測できます。