説明してください、これは線形変換かどうか？

回答：

下記参照

説明：

トランスフォーメーション #T：V からW# 次の2つの特性がある場合、線形であると言われます。

• #T（v_1 + v_2）= T（v_1）+ T（v_2）# すべてのための V#の#v_1、v_2
• #T（cv）= cT（v）# すべてのための V#の#v そしてすべてのスカラー #c#

2番目のプロパティは、 #V# は、和とスカラー倍算の2つの演算で埋め込まれています。私たちの場合、合計は多項式間の合計であり、乗算は実数との乗算です（私は仮定します）。

多項式を導出するときは、次数を小さくします。 #1#あなたが次数の多項式を導き出すのであれば、 #4# 二度、あなたは次数の多項式を得るでしょう #2#。 4次多項式すべての集合について話すとき、実際には次数のすべての多項式集合を意味することに注意してください。 せいぜい 四。実際、一般的な4次多項式は

#a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4#

次数2の多項式が必要な場合 #3 + 6x-5x ^ 2#例えば、あなたは単に選ぶ

#a_0 = 3、a_1 = 6、a_2 = -5、a_3 = a_4 = 0#

それでは、次数の多項式空間を特定しましょう。 #n# と #P_n#演算子を定義する #T：P_4 からP_2# そのような #T（f（x））= f ''（x）#

最初の性質を証明しましょう。多項式があるとします。

#p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4#

そして

#p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4#

この意味は #p_1 + p_2# 等しい

#（a_0 + b_0）+（a_1 + b_1）x +（a_2 + b_2）x ^ 2 +（a_3 + b_3）x ^ 3 +（a_4 + b_4）x ^ 4#

#T（p_1 + p_2）# はこの多項式の2次導関数であるため、

#2（a_2 + b_2）+ 6（a_3 + b_3）x + 12（a_4 + b_4）x ^ 2#

（導出のためにべき乗則を2回適用しました。 #x ^ n# です #n（n-1）x ^ {n-2}#)

それでは計算しましょう #T（p_1）#すなわち、の二次導関数 #p_1#:

#2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2#

同様に #T（p_2）#すなわち、の二次導関数 #p_2#、です

#2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2#

これらの式をまとめると、次のようになります。

#T（p_1 + p_2）= T（p_1）+ T（p_2）#

2番目の特性も同様に表示されます。多項式が与えられた場合

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4#

実数に対して #c#,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4#

その二次導関数は、

#2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2#

これもコンピューティングと同じです。 #T（p）#それからすべてを掛けます #c#すなわち #T（cp）= cT（p）#