手伝ってくれませんか？ int_0 ^（pi / 2）（e ^（2x）* sinx）dx

回答：

#=（2e ^π+ 1）/ 5#

説明：

これには、次のように部品ごとに統合する必要があります。制限は最後まで省略されます

#int（e ^（2x）sinx）dx#

#色（赤）（I = intu（dv）/（dx）dx）= uv-intv（du）/（dv）dx#

#u = e ^（2x）=> du = 2e ^（2x）dx#

#（dv）/（dx）= sinx => v = -cosx#

#色（赤）（I）= - e ^（2x）cosx + int2e ^（2x）cosxdx#

2番目の積分も部分によって行われます

#u = 2e ^（2x）=> du = 4e ^（2x）dx#

#（dv）/（dx）= cosx => v = sinx#

#色（赤）（I）= - e ^（2x）cosx + 2e ^（2x）sinx-int4e ^（2x）sinxdx#

#色（赤）（I）= - e ^（2x）cosx + 2e ^（2x）sinx-4色（赤）（I）#

5I = e ^（2x）（2sinx-cosx）#

#I =（e ^（2x）（2sinx-cosx））/ 5#

今限界を置く

#I = （e ^（2x）（2sinx-cosx））/ 5 _0 ^（pi / 2）#

#=（e ^ pi（（2sin（pi / 2）-cos（pi / 2）））/ 5） - （e ^（0）（sin0-cos0）/ 5）#

#1 / 5e ^ pi 2-0 +1 / 5 -0 + 1#

#=（2e ^π+ 1）/ 5#

回答：

#{2e ^ pi + 1} / 5#

説明：

すでに提供された答えは完璧ですが、もう少し高度なアプローチを使用して同じ答えにたどり着くためのより簡単な方法、つまり複素数による方法を指摘したいと思いました。

有名な関係から始める

#e ^ {ix} = cos（x）+ i sin（x）#

どこで #i = sqrt {-1}#そしてこれはそれが

#sin（x）= Im（e ^ {ix}）は、e ^ {2x} sin（x）= Im（e ^ {（2 + i} x））#を意味します。

どこで #Im# 虚数部を示します。

そう

#int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin（x）dx = Im（int_0 ^ {pi / 2} e ^ {（2 + i）x} dx）#

#= Im（e ^ {（2 + i）x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}）= Im（{e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+私}）#

#= Im（{ie ^ pi -1} / {2 + i}倍{2-i} / {2-i}）= 1/5 Im（（ - 1 + ie ^ pi）（2-i）） #

#= 1/5（（ - 1）×（-1）+ e ^ pi×2）= {2e ^ pi + 1} / 5#