Lnx / 10 ^ xを積分する

回答：

間違い

説明：

#int（lnx）/ 10 ^ xdx# 次のように書くこともできます。 #int（lnx）xx10 ^（ - x）dx#.

これで、積の積分に公式を使うことができます

#intu * v * dx = u * v-int（v * du）#どこで #u = lnx#

そのように、我々は持っています #du =（1 / x）dx# させて #dv = x ^（ - 10）dx# または #v = x ^（ - 9）/ - 9#

だから、 #intu * v * dx =（ - 1/9）lnx.x ^（ - 9）-int（x ^（ - 9）/ - 9）* dx / x#または

= #（ - 1/9）lnx.x ^（ - 9）+（1/9）intx ^（ - 10）* dx#

= #（ - 1/9）lnx.x ^（ - 9）+（1/9）x ^（ - 9）/（ - 9）+ c#

= #（ - 1/9）lnx.x ^（ - 9） - （1/81）x ^（ - 9）+ c#

= #-1 / 81（x ^（ - 9））（9lnx + 1）+ c#

回答：

私に不可欠な無限級数が表示されます。

説明：

2つの関数の積の積分に式を使うことができます #u（x）とv（x）#

#intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu#

（規則は単純に微分の積規則を統合することによって導き出すことができます）

与えられた整数 #intln（x）// 10 ^ xcdotdx# と書くことができます

#intln（x）xx10 ^（ - x）cdotdx#

みましょう #u = ln（x）およびdv = 10 ^（ - x）cdot dx#

最初の仮定から #du = 1 / x cdotdx#

第二等式から #v = int 10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C#

我々が得る #intln（x）xx10 ^（ - x）cdotdx = ln（x）cdot（-1 / ln 10 10 ^ -x + C）-int（-1 / ln 10 10 ^ -x + C）cdot 1 / xcdot dx#

どこで #C# は積分定数です。

#= ln（x）cdot（-1 / ln 10 10 ^ -x + C）+ int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx#

#= ln（x）cdot（-1 / ln 10 10 ^ -x + C）+ int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-Ccdot ln | x | + C_2、#単純化

#= ln（x）cdot（-1 / ln 10 10 ^ -x）+ 1 / ln 10 int 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2#

それはの積分を見つけることに帰着する #intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx#

部品式による上記の積分を再度使用する

みましょう #u = x ^ -1# そして #dv = 10 ^（ - x）cdot dx#

#du = -x ^ -2cdot dx# そして私達に既に価値がある #v#

#intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot（-1 / ln 10 10 ^ -x + C）-int（-1 / ln 10 10 ^ -x + C）cdot（-x ^ -2cdot dx）#

1. 査察により、発見されたことが判明 #int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx# 等々。
2. 関数 #ln（x）# のためだけに定義されています #x> 0#
3. 積分は無限級数積分のように見えます。

回答：

#（lny）（ln（ln_10 y）） - lny =（lny）（ln（ln_10 y）-1）#

それから入れて #10 ^ x# にとって #y#

#（ln 10 ^ x）（ln（ln_10 10 ^ x）-ln 10 ^ x#

説明：

みましょう #y = 10 ^ x#

#lny = ln10 ^ x#

#lny = x * ln10#

#x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y#

#：dx = log_10exx1 / yxxdy#

#int（ln（ln_10 y））/ yxxlog_10exx1 / yxxdy#

#= int（ln（ln_10 y））/ y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln（ln_10 y）= ln（1 / ln10 * lny）、dv = 1 / y#

#ｄｕ １ ／（ｌｎｙ ／ ｌｎ１０）＊ １ ／（ｙｌｎ１０） （ｌｎ１０ ／ ｌｎｙ）（１ ／（ｙｌｎ１０）） １ ／（ｙｌｎｙ）#

#v = lny#

#uv-intvdu - >（ln（ln_10 y））lny-intlny * 1 /（yny）#

#（lny）（ln（ln_10 y）） - int1 / y#

#（lny）（ln（ln_10 y）） - lny =（lny）（ln_10 y-1）#

それから入れて #10 ^ x# にとって #y#

#ln 10 ^ x（ln（ln_10 10 ^ x）-ln 10 ^ x#

#証明：#

#d / dy（（lny）（ln（ln_10 y）-1））#

#f = lny、g = ln（ln_10 y）-1）#

#f '= 1 / y、g' =（1 / ln_10y）（1 /（yln10））#

#fg '+ gf'#--->商品ルール

#lny *（1 / ln_10y）（1 /（yln10））+（ln（ln_10y）-1）* 1 / y#

#lny（1 /（lny / ln10））（1 /（yln10））+（ln（ln_10y）-1）* 1 / y#

#lny（ln10 / lny）（1 /（yln10））+（ln（ln_10y）-1）* 1 / y#

#1 / y +（ln（ln_10 y）-1）/ y#

#（（1 + ln（ln_10 y）-1））/ y#

#（ln（ln_10y））/ y#

#ln（x）/ 10 ^ x#--->#ln_10 y = x# 上から