三角形は頂点A（a、b）、C（c、d）、およびO（0、0）を持ちます。三角形の外接円の方程式と面積は？

回答：

#（x-p）^ 2 +（y-q）^ 2 = s 4乗# どこで

#p = {d（a ^ 2 + b ^ 2） - b（c ^ 2 + d ^ 2）} / {2（ad-bc）}#

#q = {a（c ^ 2 + d ^ 2）-c（a ^ 2 + b ^ 2）} / {2（ad-bc）}#

#s =（（（a ^ 2 + b ^ 2）（c ^ 2 + d ^ 2）（（a-c）^ 2 +（b-d）^ 2））/（4（ad-b c）^ 2）#

#A = pi s#

説明：

私は質問を一般化しました。それがどうなるか見てみましょう。私は原点に1つの頂点を残しました、それはそれを少し面倒にさせなくて、そして任意の三角形は簡単に翻訳されます。

三角形はもちろん、この問題には全く不可欠です。外接円は3つの点を通る円であり、それらは偶然3つの頂点になります。三角形は、ソリューションに驚くような外観を作ります。

いくつかの用語：外接円は三角形のと呼ばれます 円周 そしてその中心三角形 円周.

中心を持つ円の一般式 #（p、q）# そして二乗半径 #s# です

#（x-p）^ 2 +（y-q）^ 2 = s#

そして円の面積は #A = pi#

未知のものが3つあります #p、q、s# そして3つの点がわかっているので、3つの方程式が得られます。

#p ^ 2 + q ^ 2 = s quad# 原点は円上にあるからです。

#（a-p）^ 2 +（b-q）^ 2 = s#

#（c-p）^ 2 +（d-q）^ 2 = s#

連立方程式を解いてみましょう。ペアを展開したり減算したりすることによって、それらを2つの線形方程式に変換しましょう。 #p ^ 2 + q ^ 2# 左側に #s# 右側に。

#a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s#

引き算、

#a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0#

#1/2（a ^ 2 + b ^ 2）= ap + bq#

同様に

#1/2（c ^ 2 + d ^ 2）= cp + dq#

それは2つの未知数の2つの方程式です。 #AX = K# 解決策があります #X = A ^ { - 1} K.# 私はフォーマットする方法がわからない2×2行列の逆行列を覚えています、

#A ^ { - 1} = 1 / {ad-bc}（stackrel {d、-b} {-c、a}）#

私たちにとってそれは意味

#p = {d（a ^ 2 + b ^ 2） - b（c ^ 2 + d ^ 2）} / {2（ad-bc）}#

#q = {a（c ^ 2 + d ^ 2）-c（a ^ 2 + b ^ 2）} / {2（ad-bc）}#

そして2乗半径

#s = p ^ 2 + q ^ 2#

#s = {（d（a ^ 2 + b ^ 2） - b（c ^ 2 + d ^ 2））^ 2 +（a（c ^ 2 + d ^ 2）-c（a ^ 2 + b ^） 2））^ 2} / {4（ad-bc）^ 2}#

#s =（（（a ^ 2 + b ^ 2）（c ^ 2 + d ^ 2）（（a-c）^ 2 +（b-d）^ 2））/（4（ad-b c）^ 2）#

そう面積の #pi# その量の倍。

任意の三角形に対して何が起こるかを考えると、式がより対称的になるのがわかります。 #（A、B）、（C、D）、（E、F）。 設定します #a = A〜E、##b = B-F、##c = C-E、##d = D-F# しかし、私は今それを解決しません。

の分子に注意します #s# は、三角形の辺の3乗の長さと、の分母の積です。 #s# 三角形の四角形の面積の16倍です。

有理三角法では平方長さはと呼ばれます 象限 四角形の面積の16倍 クアドレア。 円周の半径の四分円は、三角形の四分円を四分円で割った積であることがわかりました。

円の半径または面積だけが必要な場合は、結果を次のようにまとめることができます。

円の半径の2乗は、三角形の長さの2乗を三角形の2乗の面積の16倍で割ったものです。

#r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2}#