どのようにして（arctan（x））/（x）のべき級数表現を見つけますか？

回答：

の導関数のべき級数を積分する #arctan（x）# それから除算する #バツ#.

説明：

のべき級数表現を知っている #1 /（1-x）= sum_nx ^ n AAx# そのような #absx <1#。そう #1 /（1 + x ^ 2）=（arctan（x）） '= sum_n（-1）^ nx ^（2n）#.

だからの級数の #arctan（x）# です #intsum_n（-1）^ nx ^（2n）dx = sum_n int（-1）^ nx ^（2n）dx = sum_n（（ - 1）^ n）/（2n + 1）x ^（2n + 1） #.

あなたはそれを割る #バツ#、あなたはそのべき級数が #arctan（x）/ x# です #sum_n（（ - 1）^ n）/（2n + 1）x ^（2n）#。まあ言ってみれば #u_n =（（-1）^ n）/（2n + 1）x ^（2n）#

このべき級数の収束半径を求めるために、 #lim_（n - > + oo）abs（（u_（n + 1））/ u_n#.

#（u_（n + 1））/ u_n =（-1）^（n + 1）* x ^（2n + 2）/（2n + 3）（2n + 1）/（（ - 1）^ nx ^ （2n））= - （2n + 1）/（2n + 3）x ^ 2#.

#lim_（n - > + oo）abs（（u_（n + 1））/ u_n）= abs（x ^ 2）#。そのため、べき級数を収束させたいのであれば、 #abs（x ^ 2）= absx ^ 2 <1#したがって、次の場合、シリーズは収束します。 #absx <1#これは、のべき級数表現の収束半径であるため、驚くことではありません。 #arctan（x）#.