回答：
#s {{sqrt（3）+ 1 + i、 - sqrt（3）+ 1 + i、1-2i}##
説明：
この問題のために、私達は見つける方法を知る必要があるでしょう #n ^ "th"# 複素数の根これを行うには、私たちはアイデンティティを使用します
#e ^（itheta）= cosθ+ isin（θ）#
このアイデンティティのために、私たちはどんな複素数でも表すことができます
#a + bi = Re ^（itheta）# どこで #R = sqrt（a ^ 2 + b ^ 2）# そして #theta = arctan（b / a）#
それでは、手順を見ていきます。 #3 ^ "rd"# 複素数の根 #a + bi#。を見つけるためのステップ #n ^ "th"# 根は似ています。
与えられた #a + bi = Re ^（itheta）# すべての複素数を探しています #z# そのような
#z ^ 3 = Re ^（itheta）#
として #z# 複素数、存在する #R_0# そして #theta_0# そのような
#z = R_0e ^（itheta_0）#
それから
#z ^ 3 =（R_0e ^（itheta_0））^ 3 = R_0 ^ 3e ^（3itheta_0）= Re ^（itheta）#
これから、すぐに持っています #R_0 = R ^（1/3）#。我々はまた、の指数を等値化することができます #e#しかし、サインとコサインはピリオドと周期的である #2pi#それから元のアイデンティティから、 #e ^（itheta）# 同様になります。それなら
#3itheta_0 = i（theta + 2pik）# どこで ZZの#k#
#=> theta_0 =（theta + 2pik）/ 3# どこで ZZの#k#
しかし、追加し続けるかのように #2pi# 何度も同じ値になってしまいますが、制限を追加することで冗長な値を無視できます theta_0 in 0、2pi）#、 あれは、 {0、1、2}の#k#
まとめると、解決策セットが得られます。
#z {R ^（1/3）e ^（itheta / 3）、R ^（1/3）e ^（i（（theta + 2pi））/ 3）、R ^（1/3）e ^ （i（theta + 4pi）/ 3）}#
これを元に戻す #a + bi# 必要に応じてIDを使用したフォーム
#e ^（itheta）= cosθ+ isin（θ）#
手元の問題に上記を適用する：
#（z-1）^ 3 = 8i#
#=> z-1 = 2i ^（1/3）#
#=> z = 2i ^（1/3）+ 1#
上記のプロセスを使用して、我々は見つけることができます #3 ^ "rd"# の根 #私#:
#i = e ^（ipi / 2）=> i ^（1/3）in {e ^（ipi / 6）、e ^（i（5pi）/ 6）、e ^（i（3pi）/ 2） #
申請中 #e ^（itheta）= cosθ+ isin（θ）# 我々は持っています
#s ^（1/3）in {sqrt（3）/ 2 + i / 2、 - sqrt（3）/ 2 + i / 2、-i}#
最後に、これらの値を代入します。 #z = 2i ^（1/3）+ 1#
#2 {2（sqrt（3）/ 2 + 1/2）+ 1、2（-sqrt（3）/ 2 + 1/2）+ 1、2（-i）+1}##
#= {sqrt（3）+ 1 + 1、 - sqrt（3）+ 1 + 1、1-2i}#
