Int（dt）/（t-4）^ 2の積分を1から5までどのように評価しますか？

回答：

代替 #x = t-4#

あなたが本当に積分を見つけることを本当に求められているならば、答えはそうです：

#-4/3#

あなたがその領域を探すなら、それはそれほど単純ではありません。

説明：

#int_1 ^ 5dt /（t-4）^ 2#

セット：

#t-4 = x#

したがって、差動：

#（d（t-4））/ dt = dx / dt#

#1 = dx / dt#

#dt = dx#

そして限界

#x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3#

#x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1#

今見つけられるこれらの3つの価値を代用しなさい：

#int_1 ^ 5dt /（t-4）^ 2#

#int _（ - 3）^ 1dx / x ^ 2#

#int _（ - 3）^ 1x ^ -2dx#

#1 /（ - 2 + 1）x ^（ - 2 + 1） _（ - 3）^ 1#

# - x ^ -1 _（ - 3）^ 1#

# - 1 / x _（ - 3）^ 1#

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

注意： あなたがエリアを見つける方法を強要されていないならば、これを読んではいけない。これは実際には2つの範囲の間の面積を表しているはずですが、常にプラスであるため、プラスになっているはずです。ただし、この機能は 連続していない で #x = 4# それであなたが望んでいるのであれば、この積分は面積を表していません。もう少し複雑です。

回答：

#int_1 ^ 5（d t）/（t-2）^ 2 = -4 / 3#

説明：

#int_1 ^ 5（d t）/（t-2）^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u#

#int_1 ^ 5（d u）/ u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^（ - 2 + 1）/（ - 2 + 1）| _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5#

#int_1 ^ 5（d t）/（t-2）^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 /（t-2）| _1 ^ 5#

#int_1 ^ 5（d t）/（t-2）^ 2 = -1 /（（5-2））+ 1 /（（1-2））#

#int_1 ^ 5（d t）/（t-2）^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3#

回答：

あなたが学んだ統合の程度に応じて、「最良の」答えは「積分は定義されていません」（まだ）のいずれかになります。 または 「積分発散」

説明：

評価しようとすると #int_1 ^ 5 1 /（x-4）^ 2 dx#、被積分関数が積分している間隔で定義されていることを確認する必要があります。

#1 /（x-4）^ 2# で定義されていません #4#そうです ではない 全区間で定義されます #1,5#.

微積分学の初期の段階で では、次の式で積分を定義します。

「みましょう #f# 間隔で定義する #a、b#… '

私たちの研究の初期の段階で、最良の答えはそれです。

#int_1 ^ 5 1 /（x-4）^ 2 dx# #' '# 定義されていません （まだ？）

後で定義を拡張します 「不適切な積分」と呼ばれるものに

これらには、無限区間での積分が含まれます（#（ - oo、b#, #a、oo）# そして #（ - oo、oo）#また、被積分関数が定義されていない点がある区間もあります。

評価する（する） #int_1 ^ 5 1 /（x-4）^ 2 dx#2つの不適切な積分を評価します #int_1 ^ 4 1 /（x-4）^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 /（x-4）^ 2 dx#.

（被積分関数はまだこれらで定義されていないことに注意 閉まっている 間隔。）

この方法は、被積分関数が未定義の点を変数で置き換え、その変数が数に近づくにつれて制限を設けることです。

#int_1 ^ 4 1 /（x-4）^ 2 dx = lim_（brarr4 ^ - ）int_1 ^ b 1 /（x-4）^ 2 dx#

まず積分を見つけましょう。

#int_1 ^ b 1 /（x-4）^ 2 dx = -1 /（x-4） _ 1 ^ b#

#=（-1 /（b-4）） - （ - 1 /（ - 3））#

#= -1 /（b-4）-1 / 3#

として制限を探して #brarr4 ^ - #限界が存在しないことがわかります。 （として #brarr4 ^ - #、の値 #-1 /（b-4）# 限りなく増加します。）

したがって積分積分 #1,4# 存在しないので、積分は #1,5# 存在しない。

積分は発散すると言う。

注意

言う人もいるでしょう。 定義 整数の場合、定義を満たす数が発生することはありません。