8k ^ 2 = 1の場合、曲線x = y ^ 2とxy = kが直角に切れることを証明します。

回答：

#-1#

説明：

#8k ^ 2 = 1#

#k ^ 2 = 1/8#

#k = sqrt（1/8）#

#x = y ^ 2#, #xy = sqrt（1/8）#

2つの曲線は

#x = y ^ 2#

そして

#x = sqrt（1/8）/ yまたはx = sqrt（1/8）y ^ -1#

曲線の #x = y ^ 2#についての導関数 #y# です #2y#.

曲線の #x = sqrt（1/8）y ^ -1#についての導関数 #y# です #-sqrt（1/8）y ^ -2#.

2つの曲線が交わる点は #y ^ 2 =（sqrt（1/8））/ y#.

#y ^ 2 =（sqrt（1/8））/ y#.

#y ^ 3 = sqrt（1/8）#

#y = sqrt（1/2）#

以来 #x = y ^ 2#, #x = 1/2#

曲線が交わる点は #（1/2、sqrt（1/2））#

いつ #y = sqrt（1/2）#, #2y = 2sqrt（1/2）#.

曲線の接線の勾配 #x = y ^ 2# です #2sqrt（1/2）、または2 /（sqrt2）#.

いつ #y = sqrt（1/2）#, #-sqrt（1/8）y ^ -2 = -2sqrt（1/8）#.

曲線の接線の勾配 #xy = sqrt（1/8）# です #-2sqrt（1/8）、または-2 /（sqrt8）#.

#（2 / sqrt2）* - 2 /（sqrt * 8）= -4 /（sqrt16）= -4 / 4 = -1#

私たちは #k# 曲線が #x = y ^ 2# そして #xy = k# 「直角に切る」。数学的には、これは曲線が直交する必要があることを意味します。つまり、すべての点で曲線の接線が どれか 与えられた点は垂直です。

曲線の族をさまざまな値について調べると #k# 我々が得る：

接線が垂直である単一の点を探しているので、一般に曲線はすべての点で直交しているわけではないことにすぐに気付きます。

最初に見つけましょう シングル 座標、 #P#、交点の、これはの同時解である：

#{（y ^ 2 = x、…… A）、（xy = k、…… B）：}#

式AをBに代入すると、

#（y ^ 2）y = k => y ^ 3 = k => y = root（3）（k）#

そして交点座標を設定します。

#P（k ^（2/3）、k ^（1/3））#

この座標における接線の勾配も必要です。最初の曲線の場合：

#y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1#

接線の勾配は #m_1#での最初の曲線へ #P# です：

#（2k ^（1/3））m_1 = 1 => m_1 = 1 /（2k ^（1/3））= 1 / 2k ^（ - 1/3）#

同様に、2番目の曲線の場合：

#xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2#

接線の勾配は #m_2#、で2番目の曲線に #P# です：

#m_2 = -k /（k ^（2/3））^ 2#

# = -k ^（ - 1/3）#

これら2つの接線が垂直の場合は、次のようになります。

#m_1m_2 = -1#

#：。 （1 / 2k ^（ - 1/3））（-k ^（ - 1/3））= -1#

#：。 k ^（ - 2/3）= 2#

#：。 （k ^（ - 2/3））^（3/2）= 2 ^（3/2）#

#：。 k ^（ - 1）= 2 ^（3/2）#

#：。 （1 / k）^ 2 = 2 ^ 3#

#：。 1 / k ^ 2 = 8#

与えられた結果につながる：

#8k ^ 2 = 1 # QED

そしてこの値で #k#