Ｙ ｆ（ｘ）が与えられる。グラフ、ｙ ｆ（３ｘ） ２およびｙ ｆ（ｘ １）？

回答：

手持ちの方眼紙を持ってはいけない - だから私はその説明が役に立つことを願っている！

説明：

にとって #y = f（3x）-2# 最初 絞る に沿って与えられたグラフ #バツ# 3の因数による軸（左手の最小値が #x = -2 / 3# ）をクリックしてからグラフ全体をプッシュ ダウン 2台ずつ。したがって、新しいグラフは最小値がになります。 #x = -2 / 3# の値で #y = -2#、最大で #(0,0)# そしてもう一つの最小値 #(4/3, -4)#

にとって #y = -f（x-1）# 最初にグラフ1単位を 右 、それから逆さまにそれを反転！だから、新しいグラフは2つの平均 マキシマ で #(-1,0)# そして #(5,2)# そして最低で #(1,-2) #

回答：

これがより詳細な説明です

説明：

問題はより一般的な問題の特別な場合です。

のグラフを考える #y = f（x）#、のグラフは何ですか #y = a f（b x + c）+ d# ?

（最初のものは #a = 1、b = 3、c = 0、d = -2#2つ目は #a = -1、b = 1、c = -1、d = 0#)

私は一歩ずつ問題に取り組むことによって、段階的に答えを説明しようとします。それはかなり長い答えになるでしょう - しかしうまくいけば一般原則はそれの終わりまでに明らかになるでしょう。

説明のために、以下に示す特定の曲線を使用しますが、このアイデアは一般的に機能します。

（もし誰かが興味を持っているなら、ここにプロットされている関数は #f（x）= exp（ - {（x-1）^ 2} / 2）#

1）のグラフ #y = f（x）#、のグラフは何ですか #y = f（x）+ d# ?

これは簡単です - あなたがしなければならないことは、 #（x、y）# 最初のグラフ上の点 #（x、y + d）# 第二のポイントです。これは、2番目のグラフが最初のグラフよりも距離が長いことを意味します。 #d# （もちろん、 #d# 負である、それは最初のグラフより低い #| d |#).

だから、のグラフ #y = f（x）+ 1# になります

ご覧のとおり、のグラフは #y = f（x）+ 1# （紫色の実線）は、のグラフを押すだけで得られます。 #y = f（x）# （灰色の破線） アップ 1単位で。

のグラフ #y = f（x）-1# 元のグラフを押すと見つけることができます ダウン 1単位で：

2）のグラフ #y = f（x）#、のグラフは何ですか #y = f（x + c）# ?

次のようになると見やすくなります。 #（x、y）# 上のポイントです #y = f（x）# グラフ #（x-c、y）# 上のポイントになります #y = f（x + c）# グラフ。これはあなたがのグラフを得ることができることを意味します #y = f（x + c）# のグラフから #y = f（x）# 単純に 左 によって #c# （もちろん、 #c# 負の場合は、元のグラフを #| c |# 右の方へ。

例として、のグラフは #y = f（x + 1）# 元のグラフを 左 1単位で：

その間に #y = f（x-1）# 元のグラフを 右 1単位で：

3）のグラフ #y = f（x）#、のグラフは何ですか #y = f（bx）# ?

から #f（x）= f（b×x / b）# ということになります #（x、y）# 上のポイントです #y = f（x）# グラフ #（x / b、y）# 上のポイントです #y = f（bx）# グラフ。

これは元のグラフが 絞った の係数で #b# 沿って #バツ# 軸。もちろん、圧迫は #b# 本当にです ストレッチ によって #1 / b# の場合 #0 <b <1#

のグラフ #y = f（2x）# です

高さが1のままで、幅が2倍に縮小することに注意してください。特に、元の曲線のピークは、 #x = 1# に #x = 1/2#.

一方、のグラフは #y = f（x / 2）# です

このグラフは幅が2倍広いことに注意してください（ #1/2# 2倍の伸縮と同じで、ピークも #x = 1# に #x = 2#.

次のような場合については、特別な言及が必要です。 #b# 負です。おそらくこれを2段階のプロセスとして考えることが最善です。

• まずのグラフを見つける #y = f（-x）#、 その後
• 結果のグラフを次のように絞ります。 #| b |#

各点について #（x、y）# 元のグラフのポイント #（ - x、y）# のグラフ上の点 #y = f（-x）# - 新しいグラフは、についての古いグラフを反映することによって見つけることができます #Y# 軸。

2段階のプロセスを説明するために、次のグラフを考えます。 #y = f（-2x）# 下に示された ：

これはオリジナルの曲線です。 #y = f（x）# 最初に反転しています #Y# 曲線を取得する軸 #y = f（-x）# （細いシアンの線）これはそれからの要因によって絞られます #2# の曲線を得る #y = f（-2x）# - 太い紫色の曲線。

4）次のグラフを考えます #y = f（x）#、のグラフは何ですか #y = af（x）# ?

パターンはここでも同じです。 #（x、y）# 元の曲線上の点 #（x、ay）# のグラフ上の点 #y = af（x）#

これは前向きに #a#グラフは、 #a# 沿って #Y# 軸。繰り返しますが、 #a# 0と1の間では、曲線は引き伸ばされるのではなく、実際には次の係数で圧縮されます。 #1 /# 沿って #Y# 軸。

下の曲線は #y = 2f（x）#

whileピークは、の同じ値にあることに注意してください。 #バツ# - その高さは1から2に倍増しています。もちろん、伸びているのはピークだけではありません。 #y# 元の曲線の各点の座標は、新しい曲線を取得するために2倍になりました。

次の図は、次の場合に発生する圧縮を示しています。 #0<>

またしても、 #a <0# 特別な注意を払ってください - そして、あなたが2つのステップでこれをする方が良いです

1. まず曲線を上下逆にして #バツ# 曲線を取得する軸 #y = -f（x）#
2. で曲線を引き伸ばす #| a |# 沿って #Y# 軸。

の曲線 #y = -f（x）# です

下の図は、曲線を描くための2つのステップを示しています。 #y = -2f（x）#

すべてを一緒に入れて

個々のステップを終えたので、それらをすべてまとめてみましょう。の曲線を描く手順

#y = a f（b x + c）+ d#

から始まって #y = f（x）# 本質的に次のステップで構成されています

1. の曲線をプロットする #y = f（x + c）# ：グラフをある距離だけシフトする #c# 左に
2. それをプロットする #y = f（bx + c）# ：でステップ1から得た曲線を絞る #バツ# 要因による方向 #| b |#、（最初にそれについて弾く #Y# 軸if #b <0#)
3. 次に、のグラフをプロットします。 #y = af（bx + c）# ：ステップ2で得られた曲線をのファクタでスケールする #a# 垂直方向に。
4. 最後に、ステップ3で取得した曲線を少し上に押します。 #d# 最終結果を得るために。

もちろん、極端な場合にのみ4つのステップすべてを実行する必要があります。多くの場合、より少ないステップ数で済みます。また、ステップの順序も重要です。

ご参考までに、これらのステップは次のような事実から成り立っています。 #（x、y）# 上のポイントです #y = f（x）# グラフ、そしてポイント

#（{x-c} / b、ay + d）# 上にあります #y = af（bx + c）+ d# グラフ。

私たちの関数を使って例でプロセスを説明しよう #f（x）#。のグラフを作成してみましょう #y = -2f（2x + 3）+ 1#

最初 - 3単位左へのシフト

それから：に沿って2倍に絞る #バツ# 軸

それから、グラフをめくって #バツ# 軸に沿って2倍に拡大縮小する #Y#

最後に、曲線を1単位上にシフトします - これで完了です。