Psi（x、t）= sqrt（1 / L）sin（（pix）/ L）e ^ - （iomega_1t）+ sqrt（1 / L）sin（（2pix）/ L）e ^ - （iomega_2t）新しい質問？

#a）#

あなたが取る必要があるだけです #Psi ^ "*" Psi#.

#color（青）（Psi ^ "*" Psi）= sqrt（1 / L）sin（（pix）/ L）e ^ - （iomega_1t）+ sqrt（1 / L）sin（（2pix）/ L） e ^ - （iomega_2t） ^ "*" sqrt（1 / L）sin（（pix）/ L）e ^ - （iomega_1t）+ sqrt（1 / L）sin（（2pix）/ L）e ^ - （iomega_2t）#

#= sqrt（1 / L）sin（（pix）/ L）e ^（iomega_1t）+ sqrt（1 / L）sin（（2pix）/ L）e ^（iomega_2t） sqrt（1 / L） sin（（pix）/ L）e ^ - （iomega_1t）+ sqrt（1 / L）sin（（2pix）/ L）e ^ - （iomega_2t）#

#= 1 / Lsin ^ 2（（pix）/ L）+ 1 / L（（pix）/ L）sin（（2pix）/ L）e ^（i（ω_1-ω_2）t）+ 1 / L sin（ （pix）/ L）sin（（2pix）/ L）e ^（i（ω_2-ω_1）t）+ 1 / L sin ^ 2（（2pix）/ L）#

#=色（青）（1 / L sin ^ 2（（pix）/ L）+ sin ^ 2（（2pix）/ L））+ 1 / L sin（（pix）/ L）sin（（2pix） / L）e ^（i（ω_1-ω_2）t）+ e ^（i（ω_2-ω_1）t））#

#b）#

周期は、運動の定数であるエネルギーを最初に知ることによって、最小限の労力で見つけることができる。

のエネルギー #phi_1 = sqrt（1 / L）sin（（pix）/ L）# です #E_1 =（1 ^ 2pi ^2ℏ^ 2）/（4mL ^ 2）#のエネルギー #phi_2# です #4E_1#。従って、頻度は #omega_2# の #phi_2# の4倍 #phi_1# (#omega_1#).

その結果、期間 #T_1 =（2pi）/（ω_1）# の #phi_1# の4倍 #phi_2# (#T_2 =（2π）/（ω_2）#、そしてまたの期間です #phi_2#.

このように期間は #色（青）（T =（2π）/（omega_1））#.

#c）#

私はあなたにこれをあなた自身の中に差し込ませます #t _ "*" = pi / 2（E_2 E_1）#。あなたはそれで何もする必要はありません…

私達はことを知っています #T =（2π）/（ω_1）#そしてそれ #（iEt）/ℏ= iomegat#、 そう

#E_n =omega_nℏ#.

結果として、

#pi /（2（E_2-E_1））= pi /（2（omega_2-omega_1）ℏ）#

そして

#色（青）（t _ "*" / T）= pi /（2（ω_2 - ω_1）ℏ）cdot（ω_1）/（2pi）#

#= 1 /（2（4ω_1 - ω_1）ℏ）cdot（ω_1）/（2）#

#= omega_1 /（4ℏ（3omega_1））#

#=色（青）（1 /（12ℏ））#

#d）#

で粒子が見つかる確率 #0、L / 2# として与えられる

#int_（0）^（L / 2）Psi ^ "*" Psidx#

#= 1 / Lint_（0）^（L / 2）sin ^ 2（（pix）/ L）+ sin ^ 2（（2pix）/ L）dx + 1 / Lint_（0）^（L / 2）sin （（pix）/ L）sin（（2pix）/ L）e ^（ - 3iomega_1t）+ e ^（3iomega_1t） dx#

#= 1 / Lint_（0）^（L / 2）sin ^ 2（（pix）/ L）+ sin ^ 2（（2pix）/ L）dx + 1 / Lint_（0）^（L / 2）2sin （（pix）/ L）sin（（2pix）/ L）cos（3omega_1t）dx#

最初の2つの項は振幅の半分で対称であり、つぎのようになります。 #50%# 全体。

3番目の項は、定常状態の確率が #4 /（3π）#、そして #cos# は任意の位相因子です。したがって、全体的な確率は

#=色（青）（0.50 + 4 /（3pi）cos（3omega_1t））#

#e）#

#color（青）（<< x >>）= << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >>#

#= 1 / Lint_（0）^（L / 2）xsin ^ 2（（pix）/ L）dx + 1 / Lint_（0）^（L / 2）xsin ^ 2（（2pix）/ L）dx + 1 / Lint_（0）^（L / 2）2xsin（（pix）/ L）sin（（2pix）/ L）cos（3omega_1t）dx#

これに対する些細な解決策はありません…これは次のようになります。

#= L /（4π^ 2）+ L / 8 + （2L）/（3π） - （8L）/（9π^ 2） cos（3omega_1t）#

#=色（青）（（（2 + pi ^ 2）L）/（8pi ^ 2）+ （（6pi - 8）L）/（9pi ^ 2） cos（3omega_1t））#

#f）#

で #x = L / 2#、 #罪# 利用規約 #sin（pi / 2）= 1# と #sin（pi）= 0#それぞれ。

から #sin（pi）= 0#の時間依存部分 #Psi ^ "*" Psi# 消え、時間に依存しない部分は #1 / L# 確率密度として。