X軸を中心に[1,3]でf（x）= xe ^ -x-xe ^（x）、xを回転させることによって作成されるソリッドの表面積はいくらか？

回答：

符号を決めてから、部品ごとに統合します。面積は次のとおりです。

#A = 39.6345#

説明：

あなたは知っている必要があります #f（x）# マイナスまたはプラス #1,3#。したがって：

#xe ^ -x-xe ^ x#

#x（e ^ -x-e ^ x）#

符号を決定するために、2番目の要素は次の場合に正になります。

#e ^ -x-e ^ x> 0#

#1 / e ^ x-e ^ x> 0#

#e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0#

以来 #e ^ x> 0# 誰にでも #-x in（-oo、+ oo）# 不等式は変わりません：

#1-e ^（x + x）> 0#

#1-e ^（2x）> 0#

#e ^（2x）<1#

#lne ^（2x）<ln1#

#2x <0#

#x <0#

そのため、xが負の場合、関数は正になります。もあるので #バツ# 要因で #f（x）#

#f（x）= x（e ^ -x-e ^ x）#

一方の因子が正の場合、もう一方の因子は負であるため、f（x）は 常に否定的。したがって、エリア：

#A = -int_1 ^ 3f（x）dx#

#A = -int_1 ^ 3（xe ^ -x-xe ^ x）dx#

#A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx#

#A = -int_1 ^ 3x *（ - （e ^ -x） '）dx + int_1 ^ 3x（e ^ x）' dx#

#A = int_1 ^ 3x *（e ^ -x） 'dx + int_1 ^ 3x（e ^ x）' dx#

#A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3（x） 'e ^ -xdx + x（e ^ x） _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3（x）' e ^ xdx#

#A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x（e ^ x） _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx#

#A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x（e ^ x） _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3#

#A =（3e ^ -3-1 * e ^ -1）+（e ^ -3-e ^ -1）+（3e ^ 3-1 * e ^ 1） - （e ^ 3-e ^ 1） #

#A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e#

#A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3#

電卓を使用する：

#A = 39.6345#

回答：

面積= 11,336.8平方単位

説明：

与えられた #f（x）= xe ^ -x -xe ^ x#

簡単にするために #f（x）= y#

そして #y = xe ^ -x -xe ^ x#

一次導関数 #y '# 表面積の計算に必要です。

エリア #= 2pi int_1 ^ 3 y# #ds#

どこで #ds##= sqrt（1+（y '）^ 2）# #dx#

エリア #= 2pi int_1 ^ 3 y# #sqrt（1+（y '）^ 2）# #dx#

一次導関数を決定する #y '#:

区別する #y = x（e ^ -x - e ^ x）# 製品式の導関数を使う

#y '= 1 *（e ^ -x-e ^ x）+ x *（e ^ -x *（ - 1）-e ^ x）#

#y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x#

単純化して因数分解すると、結果は

一次導関数 #y '= e ^ -x *（1-x）-e ^ x *（1 + x）#

今面積を計算します。

面積= #2 pi int_1 ^ 3 y# #ds#

エリア #= 2pi int_1 ^ 3 y# #sqrt（1+（y '）^ 2）# #dx#

エリア

#= 2pi int_1 ^ 3 x（e ^ -x - e ^ x）# #sqrt（1+（e ^ -x *（1-x）-e ^ x *（1 + x））^ 2# #dx#

このような複雑な積分に対しては、シンプソンの法則を使うことができます。

そのため

エリア

#= 2pi int_1 ^ 3 x（e ^ -x - e ^ x）# #sqrt（1+（e ^ -x *（1-x）-e ^ x *（1 + x））^ 2# #dx#

面積= -11,336.804

これには回転方向が含まれるため、負の表面積または正の表面積が存在する可能性があります。正の値Area = 11336.804平方単位を考えてみましょう