通常のドデカゴンの面積を求める公式は何ですか？

回答：

#S _（ "通常のドデカゴン"）=（3 /（tan 15 ^ @）） "side" ^ 2〜= 11.196152 * "side" ^ 2#

説明：

円に内接する正十二角形を考えると、それは辺が円の半径、円の半径、ドデカゴンの辺である12の二等辺三角形で形成されていることがわかります。これらの各三角形では、ドデカゴンの側面と反対側の角度は #360^@/12=30^@#;これらの各三角形の面積は #（ "横" * "高さ）/ 2#問題を解決するには、ドデカゴンの側面に垂直な高さを決定するだけです。

上記の二等辺三角形では、その底辺は12角形の辺であり、等しい辺は円の半径です。#アルファ#と等しい #30^@#円の半径が交わる頂点から引かれた線だけがあります。 C点 これは、ドデカゴンの側面を垂直に横切ります：この線は角度を二分します #アルファ# 点Cと底辺が遮られる点との間の三角形の高さも定義します（ M点 （そのようにして形成された２つの小さい三角形が合同であるためすべて）。

上記の2つの小さい三角形は正しいものなので、二等辺三角形の高さは次のようにして決定できます。

#tan（alpha / 2）= "反対のカテーテル" / "隣接のカテーテル"# => #tan（30 ^ @ / 2）=（ "横" / 2）/ "高さ"# => #height = "side" /（2 * tan 15 ^ @）#

それなら

#S_（12角形）= 12 * S_（三角形）= 12 *（（ "辺"）（ "高さ"））/ 2 = 6 *（ "辺"）（ "辺"）/（2 * tan 15 ^ @ ）# => #S_（12角形）= 3 *（ "side"）^ 2 /（tan 15 ^ @）#