Lim_（xrarroo）（e ^（2x）sin（1 / x））/ x ^ 2とは何ですか？

回答：

#lim_（x-> oo）（e ^（2x）sin（1 / x））/ x ^ 2 = oo#

説明：

みましょう #y =（e ^（2x）sin（1 / x））/ x ^ 2#

#lny = ln（（e ^（2x）sin（1 / x））/ x ^ 2）#

#lny = lne ^（2x）+ ln（sin（1 / x）） - lnx ^ 2#

#lny = 2×lne + ln（sin（1 / x）） - 2 ln×#

#lny = 2x + ln（sin（1 / x）） - 2 lnx#

#lim_（x-> oo）lny = 2x + ln（sin（1 / x）） - 2 lnx#

#lim_（x oo）lny = lim_（x oo）2x + ln（sin（1 / x）） - 2 lnx#

#lim_（x-> oo）lny = oo#

#e ^ lny = e ^ oo#

#y = oo#

回答：

#lim_（xrarroo）（e ^（2x）sin（1 / x））/ x ^ 2 = oo#。以下の説明セクションを参照してください。

説明：

#lim_（xrarroo）（e ^（2x）sin（1 / x））/ x ^ 2#

ご了承ください： #（e ^（2x）sin（1 / x））/ x ^ 2 = e ^（2x）/ x ^ 3 * sin（1 / x）/（1 / x）#

今、 #xrarroo#最初の比率は限りなく増加し、2番目の比率は #1#.

#lim_（xrarroo）（e ^（2x）sin（1 / x））/ x ^ 2 = lim_（xrarroo）e ^（2x）/ x ^ 3 * lim_（xrarroo）sin（1 / x）/（1 /バツ）#

#= oo#

さらなる説明

これが上記の解決策につながった理由です。

#lim_（xrarroo）（e ^（2x）sin（1 / x））/ x ^ 2# 初期形式 #（oo * 0）/ oo#.

これは不定形式ですが、このフォームに病院のルールを適用することはできません。

次のように書き換えることができます #（e ^（2x））/（x ^ 2 / sin（1 / x））# フォームを取得する #oo / oo# 私たちはl'Hospitalを適用することができました。しかし、私は特にその分母の導関数を取りたくありません。

それを思い出します #lim_（thetararr0）sintheta / theta = 1#.

そのため #lim_（xrarroo）sin（1 / x）/（1 / x）= 1#.

これが上記で使用された書き換えの動機となります。

#（e ^（2x）sin（1 / x））/ x ^ 2 = e ^（2x）/ x ^ 3 * sin（1 / x）/（1 / x）#.

として #バツ# 限りなく増加 #e ^ x# それよりはるかに速く無限に行きます #x ^ 3# （のどの力よりも速い #バツ#).

そう、 #e ^（2x）=（e ^ x）^ 2# さらに速く爆発します。

この事実が利用できない場合は、l '病院のルールを使って

#lim_（xrarroo）e ^（2x）/ x ^ 3 = lim_（xrarroo）（2e ^（2x））/（3x ^ 2）#

#= lim_（xrarroo）（8e ^（2x））/（6）= oo#