X ^ 6-2x ^ 3 + 1をどのように因数分解しますか？

#x ^ 6-2 x ^ 3 + 1 =（x ^ 3）^ 2-2（x ^ 3）+ 1# 形式です #y ^ 2-2y + 1# どこで #y = x ^ 3#.

この二次式は #y# 以下の要因があります。

#y ^ 2-2y + 1 =（y-1）（y-1）=（y - 1）^ 2#

そう #x ^ 6-2x ^ 3 + 1 =（x ^ 3 - 1）^ 2#

#x ^ 3 - 1 =（x - 1）（x ^ 2 + x + 1）#

そう #x ^ 6-2x ^ 3 + 1 =（x - 1）（x ^ 2 + x + 1）（x - 1）（x ^ 2 + x + 1）#

#=（x - 1）^ 2（x ^ 2 + x + 1）^ 2#.

#x ^ 2 + x + 1# 実係数をもつ線形因子はありません。この通知が形式であることを確認する #ax ^ 2 + bx + c#、判別式があります。

#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3#

負で、方程式は #x ^ 2 + x + 1 = 0# 本当のルーツはありません。

答えをチェックする1つの方法は、値をに置き換えることです。 #バツ# これは両側への根ではなく、同じ結果が得られるかどうかを確認します。

やってみる #x = 2#:

#x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1#

#= 64-（2xx8）+ 1 = 64-16 + 1 = 49#

比較しなさい：

#（x - 1）^ 2（x ^ 2 + x + 1）^ 2 =（2-1）^ 2（2 ^ 2 + 2 + 1）^ 2#

#1^2*7^2=49#

それはうまくいった！

#x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1# それは完全な正方形であるため、因数分解はかなり簡単です。これをどうやって知るのですか？それは形の三項です #a ^ 2 + 2ab + b ^ 2#そして、その形の三項式はすべて完全な正方形です。

この三項式は #（x ^ 3 - 1）#。私の仕事をチェックするために、私は後ろ向きに仕事をします：

#（x ^ 3 - 1）（x ^ 3 - 1）#

#= x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1#

#= x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1#

それで、この三項式の要因は #1#, #x ^ 3 - 1#、そして #x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1#.

しかし、私が指摘したように、 #（x ^ 3 - 1）# 要因もあります。それは形式の二項式なので #a ^ 3 - b ^ 3#と書くこともできます #（a - b）（a ^ 2 + ab + b ^ 2）#.

そう、 #（x ^ 3 - 1）# に要因 #（x - 1）# そして #（x ^ 2 + x + 1）#どちらも素数です。

の要因 #x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1# は次のとおりです。

#1#

#x-1#

#x ^ 2 + x + 1#

#x ^ 3 - 1#

#x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1#

より具体的には、 #x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1# です：

#（x - 1）^ 2（x ^ 2 + x + 1）^ 2#