回答：
2番目の選択：
#x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1#
説明：
与えられた方程式
#31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1"#
円錐セクションの一般的なデカルト形式です。
#Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0#
どこで #A = 31、B = 10 sqrt 3、C = 21、D = 0、E = 0、F = -144#
Axes of Axesを参照すると、円錐部分を指定された角度に回転させることができる方程式が得られます。 #シータ#。また、それは私達に私達がの係数を強制することを可能にする方程式を与える。 #xy# 0になります。
#theta = 1 / 2tan ^ -1（B /（C-A））#
式1の値を代入します。
#theta = 1 / 2tan ^ -1（（10sqrt3）/（21-31））#
簡素化する：
#theta = 1 / 2tan ^ -1（-sqrt3）#
#theta = -pi / 6#
式（9.4.4b）を使用して、新しい回転が #xy# 0となる項
#Ｂ ' （Ａ Ｃ）ｓｉｎ（２θ） Ｂｃｏｓ（２θ）#
#B '=（31-21）sin（2（-pi / 6））+ 10sqrt3cos（2（-pi / 6））#
#B '= 0 larr# 確認済み
式（9.4.4a）を使って計算する #A '#:
#Ａ ' （Ａ Ｃ）／ ２ ［（Ａ Ｃ）／ ２］ ｃｏｓ（２θ） Ｂ ／ ２ｓｉｎ（２θ）#
#A '=（31 + 21）/ 2 + （31 - 21）/ 2 cos（2（-pi / 6）） - （10sqrt3）/ 2 sin（2（-pi / 6））#
#A '= 36#
計算するために式（9.4.4c）を使う #C '#:
#Ｃ ' （Ａ Ｃ）／ ２ ［（Ｃ Ａ）／ ２］ ｃｏｓ（２θ） Ｂ ／ ２ｓｉｎ（２θ）#
#Ｃ ' （３１ ２１）／ ２ ［（２１ ３１）／ ２］ ｃｏｓ（２（ ｐｉ ／ ６）） （１０ｓｑｒｔ ３）／ ２ｓｉｎ（２（ ｐｉ ／ ６））#
#C '= 16#
計算には式（9.4.4f）を使用してください。 #F '#
#F '= F#
#F '= -144#
これで、回転していない形式を書くことができます。
#36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0#
両側を144で割ります。
#x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0#
両側に1を加える：
#x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1#
回答：
オプションB
説明：
方程式を行列形式で書き、それを主軸上に回転させることができます。
みましょう：
#ｂｂ ｘ Ｔ Ｍ ｂｂ ｘ ［ｘ、ｙ］ ［（ａ、ｂ）、（ｂ、ｃ）］ ［（ｘ）、（ｙ）］ Ｑ#
#=（x、y）（ax + b y）、（bx + cy） = Q#
#= ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q#
#a = 31、d = 5 sqrt3、c = 21、Q = 144を意味します#
そして行列形式で：
#bb x ^ T （31、5 sqrt 3）、（5 sqrt 3、21） bb x = 144 q四角形#
軸を回転させる #bbx# によって #シータ#:
#bb x ^ '= Rθbb x#
- #implies bbx = R ^（ - 1）bbx ^ '#
転置 #bb x ^ '= R bb x#:
#暗黙のうちにbb x ^（ '^ T）=（R bbx）^ T = bb x ^ T R ^ T#
#暗黙のうちにbb x ^（ '^ T）= bb x ^ T R ^（ - 1）#Rは直交するので
- #implies bb x ^（ '^ T）R = b b x ^ T#
これらの最後の2つの結果をに入れる #平方#:
#bb x ^（ '^ T）R （31、5 sqrt 3）、（5 sqrt 3、21） R ^（ - 1）bb x ^' = 144#
もしそうなら R 対角化する行列 M 次に、対角固有ベクトル行列の主軸に関する方程式が得られます。 Dすなわち：
M の固有値は36と16なので、次のように対角化できます。
#bb x ^（ '^ T）D bb x ^' = bb x ^（ '^ T）（36、0）、（0、16） bb x ^' = 144#
#（x '、y'）（9,0）、（0,4）（（x '）、（y'））= 36#
#x ^（ '^ 2）/ 4 + y ^（' ^ 2）/ 9 = 1#
