回答：
# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2}# または #約1.302054638 …#
説明：
無限積に関するあらゆる種類の問題を解決するための最も重要なアイデンティティは、それを無限和の問題に変換することです。
# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln（a_1）} * e ^ {ln（a_2）} * e ^ {ln（a_3）}。..#
エンファシス：
#= exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln（a_k）#
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
しかし、これを実行する前に、最初に方程式の# frac {1} {n ^ 2}を処理しなければなりません。そして、無限積Lと呼びましょう。
#L = lim_ {n から+ infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n}（n ^ 2 + k ^ 2）^ { frac {1} {n}}#
#= lim_ {n から+ infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}） ^ { frac {1} {n}}#
#= lim_ {n から+ infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n}（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2} ）^ { frac {1} {n}} = lim_ {n から+ infty} prod_ {k = 1} ^ {n}（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}） ^ { frac {1} {n}}#
これで無限の和にこれを変換することができます：
#L = lim_ {n から+ infty} prod_ {k = 1} ^ {n}（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}）^ { frac {1} {n} } = lim_ {n から+ infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln（（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}）^ { frac {1} {n}}）#
対数プロパティを適用します。
#L = lim_ {n から+ infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 #）
そして、限界特性を使う：
#L = exp lim_ {n から+ infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 #）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
無限和をSと呼びましょう。
#S = lim_ {n から+ infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}） #
そしてそれを覚えておいてください
#L = exp（S）#
それではあなたの質問を RIEMANN SUM へ 定義済みの整数:
リーマン和の定義を思い出してください。
エンファシス：
# int_ {a} ^ {b} f（x）dx = lim_ {n から+ infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f（a + k（ frac {ba} {n ）） frac {ba} {n}#
みましょう
# lim_ {n から+ infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f（a + k（ frac {ba} {n}））* frac {ba} {n} = lim_ {n から+ infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}）= S#
それでは、 #f（x）= ln（1 + x ^ 2）かつa = 0#
#f（k（ frac {b} {n}））= ln（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}）#
したがって、ｂ １である。
#f（ frac {k} {n}）= ln（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}）#
したがって、
#S = lim_ {n から+ infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln（1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}） = int_ {0} ^ {1} ln（1 + x ^ 2）dx#
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
解決する # int_ {0} ^ {1} ln（1 + x ^ 2）dx#:
部品ごとの統合を使う：
# int uv dx = u int v dx - int（u '* int vdx）dx#
みましょう #u = ln（1 + x ^ 2）そしてv = 1#
次に、連鎖則と自然対数の微分を使って、 #u '= 1 /（1 + x ^ 2）* 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2}#
そして、得るためにパワールールを使います： # int 1dx = x#
# int ln（1 + x ^ 2）dx = ln（1 + x ^ 2）* x - int（ frac {2x} {1 + x ^ 2} * x）dx#
#= ln（1 + x ^ 2）* x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx#
#= xln（1 + x ^ 2） - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx#
#= xln（1 + x ^ 2） - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx# 減算規則を使用する：
#= xln（1 + x ^ 2） - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx#
#= xln（1 + x ^ 2） - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx#
最初の積分に2乗のべき乗則を使用し、2番目の積分は標準三角関数です。 #arctan（x）# （正接関数の逆）
#= xln（1 + x ^ 2） - 2 x - arctan（x）#
したがって、 # int ln（1 + x ^ 2）dx = xln（1 + x ^ 2） - 2x + 2 arctan（x）+ C#
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
さて、定積分を求めます。
#S = int_ {0} ^ {1} ln（1 + x ^ 2）dx#
反派生物は #F（x）= xln（1 + x ^ 2） - 2 x + 2 arctan（x）+ C#かくして
#S = F（x）| _ {x = 0} ^ {x = 1} = F（1） - F（0）#
#S = 1ln（1 + 1 ^ 2） - 2（1）+ 2 arctan（1） - 0 + 0 - arctan（0）#
arctan（1）が45°または # frac { pi} {4}# （辺の長さが1,1の特別な直角三角形を思い出してください。 # sqrt {2}# そして角度45°、45°、90°）そしてまた #arctan（0）= 0#
したがって #S = ln（2） - 2 + 2（ frac { pi} {4}）= ln（2） - 2 + frac { pi} {2}#
または #約0.263943507354 …#
#L = exp S = exp ln（2） - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln（2）} * e ^ { - 2} * e ^ { frac { pi} {2}}#
#L = 2 * frac {1} {e ^ 2} *（e ^ {pi}）^ {1/2}#
#L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2}#
したがって、解決策は # lim_ {n から+ infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n}（n ^ 2 + k ^ 2）^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2}# または #約1.302054638 …#
