Ｓを単位面積の二乗とする。 Sの各辺に1つの頂点を持つ四辺形を考えます。a、b、c、dが四辺形の辺の長さを表す場合、2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2を証明します。 <= 4？

みましょう #あいうえお# 単位面積の2乗になります。

そう #AB = BC = CD = DA = 1# 単位。

みましょう #PQRS# 正方形の各辺に1つの頂点を持つ四辺形になります。ここでさせましょう #PQ = b、QR = c、RS = dandSP = a#

我々が書くことができるピタゴラスの定理を適用する

#a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2#

#= x ^ 2 + y ^ 2 +（1-x）^ 2 +（1-w）^ 2 + w ^ 2 +（1-z）^ 2 + z ^ 2 +（1-y）^ 2#

#= 4 + 2（x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w）#

#= 2 + 2（1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w）#

#= 2 + 2（（x-1/2）^ 2 +（y-1/2）^ 2 +（z-1/2）^ 2 +（w-1/2）^ 2）#

今私達が持っている問題によって

#0 <= x <= 1 => 0 <=（x-1/2）^ 2 <= 1/4#

#0 <= y <= 1 => 0 <=（y-1/2）^ 2 <= 1/4#

#0 <= z <= 1 => 0 <=（z-1/2）^ 2 <= 1/4#

#0 <= w <= 1 => 0 <=（w-1/2）^ 2 <= 1/4#

それゆえ

#2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4#