回答：
#int_0 ^（pi / 4）（sin x + cos x）/（3 + sin 2 x）dx = 0.2746530521#
説明：
私の解決策はシンプソンの法則、近似式によるものです。
#int_a ^ b y * dx〜=#
#h / 3（y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_（n-1）+ y_n）#
どこで #h =（b-a）/ n# そして #b# 上限と #a# 下限
そして #n# 任意の偶数（大きいほど良い）
私が選んだ
#n = 20#
与えられた #b = pi / 4# そして #a = 0#
#h =（pi / 4-0）/ 20 = pi / 80#
これが計算方法です。各 #y =（sin x + cos x）/（3 + sin 2 x）# 異なる値を使用します
にとって #y_0#
#x_0 =（a + 0 * h）=（0 + 0 * pi / 80）= 0#
#y_0 =（sin x_0 + cos x_0）/（3 + sin 2x_0）#
#y_0 =（sin（0）+ cos（0））/（3 + sin 2（0））#
#色（赤）（y_0 = 0.3333333333333）#
にとって #4 * y_1#
#x_1 =（a + 1 * h）=（0 + 1 * pi / 80）= pi / 80#
#4 * y_1 = 4 *（sin x_1 + cos x_1）/（3 + sin 2x_1）#
#4 * y_1 = 4 *（sin（pi / 80）+ cos（pi / 80））/（3 + sin（2（pi / 80）））#
#色（赤）（4 * y_1 = 1.3493618978936）#
にとって #2 * y_2#
#x_2 =（a + 2 * h）=（0 + 2 * pi / 80）= 2 * pi / 80#
#2 * y_2 = 2 *（sin x_2 + cos x_2）/（3 + sin 2x_2）#
#2 * y_2 = 2 *（sin（（2π）/ 80）+ cos（（2π）/ 80））/（3 + sin 2（（2π）/ 80））#
#色（赤）（2 * y_2 = 0.68138682514816）#
にとって #4 * y_3#
#x_3 =（a + 3 * h）=（0 + 3 * pi / 80）= 3 * pi / 80#
#4 * y_3 = 4 *（sin x_3 + cos x_3）/（3 + sin 2x_3）#
#4 * y_3 = 4 *（sin（（3π）/ 80）+ cos（（3π）/ 80））/（3 + sin 2（（3π）/ 80））#
#色（赤）（4 * y_3 = 1.3738977832468）#
にとって #2 * y_4#
#x_4 =（a + 4 * h）=（0 + 4 * pi / 80）= 4 * pi / 80#
#2 * y_4 = 4 *（sin x_4 + cos x_4）/（3 + sin 2x_4）#
#2 * y_4 = 4 *（sin（（4π）/ 80）+ cos（（4π）/ 80））/（3 + sin 2（（4π）/ 80））#
#色（赤）（2 * y_4 = 0.69151824096418）#
残りは以下の通りです
#色（赤）（4 * y_5 = 1.3904648494964）#
#色（赤）（2 * y_6 = 0.69821575035862）#
#色（赤）（4 * y_7 = 1.4011596185484）#
#色（赤）（2 * y_8 = 0.70242415421322）#
#色（赤）（4 * y_9 = 1.4076741205702）#
#色（赤）（2 * y_10 = 0.70489632049832）#
#色（赤）（4 * y_11 = 1.4113400771087）#
#色（赤）（2 * y_12 = 0.7062173920012）#
#色（赤）（4 * y_13 = 1.4131786935757）#
#色（赤）（2 * y_14 = 0.7068293103707）#
#色（赤）（4 * y_15 = 1.4139474301694）#
#色（赤）（2 * y_16 = 0.70705252678954）#
#色（赤）（4 * y_17 = 1.414179352209）#
#色（赤）（2 * y_18 = 0.70710341105534）#
#色（赤）（4 * y_19 = 1.4142131417552）#
#色（赤）（y_20 = 0.35355339059328）#
これらすべての合計 #色（赤）（ "sum" = 20.98194762）#
#int_0 ^（pi / 4）（sin x + cos x）/（3 + sin 2 x）dx =（h / 3）* "sum"#
#int_0 ^（pi / 4）（sin x + cos x）/（3 + sin 2 x）dx =（（pi / 80）/ 3）* 20.98194762#
#int_0 ^（pi / 4）（sin x + cos x）/（3 + sin 2 x）dx = color（red）（0.2746530521）#
代替案は、複雑な統合がより正確な値で生じるときにグラフィック計算機を単に使用することです。
#色（赤）（= 0.2746530722）#
神のご加護がありますように…。
回答：
#int_0 ^（pi / 4）（sin（x）+ cos（x））/（3 + sin（2x））dx = ln（3）/ 4#
説明：
置換を使用して進めます。まず、被積分関数をより望ましい形にするために代数を使います。
#3 + sin（2x）= 3 + 2sin（x）cos（x）#
#= 4 + 2sin（x）cos（x） - 1#
#= 4 + 2sin（x）cos（x） - sin ^ 2（x） - cos ^ 2（x）#
#= 4 - （sin（x）-cos（x））^ 2#
#=（2 + sin（x） - cos（x））（2 - sin（x）+ cos（x））#
#=>（sin（x）+ cos（x））/（3 + sin（2x））=（sin（x）+ cos（x））/（（2 + sin（x）-cos（x）） （2-sin（x）+ cos（x）））#
#=（4（sin（x）+ cos（x）））/（4（2 + sin（x） - cos（x））（2-sin（x）+ cos（x））#
#=（sin（x）+ cos（x））/ 4 xx#
#xx4 /（（2 + sin（x）-cos（x））（2-sin（x）+ cos（x）））#
#=（sin（x）+ cos（x））/ 4 xx#
#xx（1 /（2 + sin（x） - cos（x））+ 1 /（2-sin（x）+ cos（x）））#
# １ ／ ４ｘｘ（ｓｉｎ（ｘ） ｃｏｓ（ｘ））／（２ ｓｉｎ（ｘ） ｃｏｓ（ｘ）） - １ ／ ４ｘｘ（ ｓｉｎ（ｘ） ｃｏｓ（ｘ））／（２ sin（x）+ cos（x））#
それを使って、積分を分割することができます。
#int_0 ^（pi / 4）（sin（x）+ cos（x））/（3 + sin（2x））dx =#
#= 1 / 4int_0 ^（pi / 4）（sin（x）+ cos（x））/（2 + sin（x） - cos（x））dx#
# - 1 / 4int_0 ^（pi / 4）（ - sin（x） - cos（x））/（2-sin（x）+ cos（x））dx#
最初の積分に対して、代入を使って #u = 2 + sin（x） - cos（x）# 私たちに与える #du =（sin（x）+ cos（x））dx# そして積分の範囲は #0# そして #pi / 4# に #1# そして #2#。したがって、我々は得る
#1 / 4int_0 ^（pi / 4）（sin（x）+ cos（x））/（2 + sin（x）-cos（x））dx = int_1 ^ 2 1 / udu#
#= 1/4（ln | u |）_1 ^ 2#
#= 1/4（ln（2） - ln（1））#
#= 1 / 4ln（2）#
2番目の積分に対して、代入を使って #u = 2 - sin（x）+ cos（x）# 私たちに与える #du =（-sin（x）-cos（x））dx# そして積分の範囲は #0# そして #pi / 4# に #3# そして #2#。したがって、我々は得る
#-1 / 4int_0 ^（pi / 4）（ - sin（x）-cos（x））/（2-sin（x）+ cos（x））dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu#
#= 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu#
#= 1/4（ln（3） - ln（2））#
#= 1/4（ln（3/2））#
値を積分値に代入すると、私たちの望む結果が得られます。
#int_0 ^（pi / 4）（sin（x）+ cos（x））/（3 + sin（2x））dx = 1 / 4ln（2）+ 1 / 4ln（3/2）#
#= 1/4（ln（2）+ ln（3/2））#
#= 1 / 4ln（2 * 3/2）#
#= ln（3）/ 4#
