球の半径が毎秒4 cmの割合で増加している場合、直径が80 cmのときに体積はどれくらい速く増加しますか。

回答：

12,800cm 3

これは古典的なRelated Ratesの問題です。 Related Ratesの背景にある考え方は、数値が変化しても変化しない幾何学モデルがあるということです。

例えば、この形状はサイズが変わっても球のままです。場所の体積と半径の関係は

#V = 4 / 3pir ^ 3#

この限り幾何学的関係球が大きくなっても変化しないので、この関係を暗黙的に導き出し、変化率の間に新しい関係を見つけることができます。

暗黙的な微分は、式の中のすべての変数を導き出す場所です。この場合、時間に関して式を導きます。

それで私達は私達の球の導関数を取ります：

#V = 4 / 3pir ^ 3#

#（dV）/（dt）= 4 / 3pi（3r ^ 2）（dr）/ dt#

#（dV）/（dt）= 4pir ^ 2（dr）/ dt#

私たちは実際に与えられました #（dr）/（dt）#。それは #4（cm）/ s#.

私たちはその瞬間に興味を持っています直径 80 cmです。半径 40センチになります。

ボリュームの増加率は #（dV）/（dt）#これが私たちが探しているものです。

#（dV）/（dt）= 4pir ^ 2（dr）/ dt#

#（dV）/（dt）=4π（40cm）^ 2（4（cm）/ s）#

#（dV）/（dt）=4π（1600 cm ^ 2）（4（cm）/ s）#

#（dV）/（dt）= 12,800（cm ^ 3）/ s#

また、時間で割った量を取得する必要があるので、単位も正しく機能します。

お役に立てれば。