回答：
接線はに平行です。 #バツ# 斜面の軸 #dy / dx#）はゼロであり、それはに平行です #y# 斜面の軸 #dy / dx#） に行く #oo# または #-oo#
説明：
我々は見つけることから始めます #dy / dx#:
#x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7#
#d / dx（x ^ 2 + xy + y ^ 2）= d / dx（7）#
#2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0#
#dy / dx = - （2x + y）/（x + 2y）#
今、 #dy / dx = 0# nuimeratorが #0#ただし、これが分母にならない場合 #0#.
#2x + y = 0# いつ #y = -2x#
2つの方程式があります。
#x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7#
#y = -2x#
解決する（代用）
#x ^ 2 + x（-2x）+（-2x）^ 2 = 7#
#x ^ 2 -2 x ^ 2 + 4 x ^ 2 = 7#
#3x ^ 2 = 7#
#x = + - sqrt（7/3）= + - sqrt21 / 3#
を使う #y = -2x#、 我々が得る
曲線の接線は2点で水平です。
#（sqrt21 / 3、 - （2sqrt21）/ 3）# そして #（ - sqrt21 / 3、（2sqrt21）/ 3）#
（これらのペアがの分母にもならないことに注意してください #dy / dx# に等しい #0#)
接線が垂直になる点を見つけるには、の分母をにします。 #dy / dx# 等しいtpo #0# （分子も作らずに #0#).
解をたどることができますが、得られる方程式の対称性は次のようになります。
#x = -2y#、 そう
#y = + - sqrt21 / 3#
接線が垂直になる曲線上の点は次のとおりです。
#（ - （2sqrt21）/ 3、sqrt21 / 3）# そして #（（2sqrt21）/ 3、-sqrt21 / 3）#
ところで。私たちはその技術を持っているので、これが回転した楕円のグラフです。 #+ - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528# グラフで見ることができます。）
グラフ{x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3、11.2、-5.665、5.585}
回答：
私が得る中学校の数学だけを使って
x軸に平行な接線：
#（ - sqrt {7/3}、2sqrt {7/3}）および（sqrt {7/3}、-2sqrt {7/3}）#
y軸に平行な接線：
#（ - 2sqrt {7/3}、sqrt {7/3}）および（2sqrt {7/3}、-sqrt {7/3}）#
説明：
私はジムの答えをちらっと見た。それは素敵で標準的な微積分法のように見える。しかし、代数曲線の接線を求めたいがまだ微積分から何年も離れているソクラテスの土地にいる中学校のすべての生徒にとって、私は助けることができず悲しい気持ちになります。
幸い、代数Iだけを使ってこれらの問題を解決することができます。
#x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7#
これは最初の例では少々複雑かもしれませんが、それではやりましょう。曲線を次のように書きます。 #f（x、y）= 0# どこで
#f（x、y）= x ^ 2 + xy + y ^ 2-7#
とりましょう #（r、s）# ポイントとして #f#。調べたい #f# 近く #（r、s）# だから私たちは書く
#f（x、y）= f（r +（x-r）、s +（y-s））#
#=（r +（x-r））^ 2 +（r +（x-r））（s +（y-s））+（s +（y-s））^ 2-7#
私たちは拡張しますが、違いの用語は拡張しません #x-r# そして #y-s#。それらを無傷のままにしておきたいので、後でいくつか削除することを試すことができます。
#f（x、y）= r ^ 2 + 2r（xr）+（xr）^ 2 +（rs + s（xr）+ r（ys）+（xr）（ys））+ s ^ 2 + 2s（ ys）+（ys）^ 2-7#
#=（r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7）+（2r + s）（xr）+（2s + r）（ys）+（xr）^ 2 +（ys）^ 2 +（xr）（ ys）#
#= f（r、s）+（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）+（x-r）^ 2 +（y-s）^ 2 +（x-r）（y-s）#
私達は言いました #（r、s）# オンです #f# そう #f（r、s）= 0#.
#f（x、y）=（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）+（x-r）^ 2 +（y-s）^ 2 +（x-r）（y-s）#
項を次数でソートして、次の近似式を試すことができます。 #f# 近く #（r、s）# より高い学位を落とすことによって。アイデアはいつですか #（x、y）# 近い #（r、s）# それから #x-r# そして #y-s# 小さい、そして彼らの正方形と製品はまだ小さいです。
いくつかの近似を生成してみましょう。 #f#。から #（r、s）# は曲線上にあり、定数近似はすべての差分項を落とし、
#f_0（x、y）= 0#
それは特に刺激的ではありませんが、それは正しく私たちに近くのポイントを教えてくれます #（r、s）# についてゼロに近い値を与える #f#.
もっと面白くなって、線形項を守りましょう。
#f_1（x、y）=（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）#
これをゼロに設定すると、最良の線形近似は次のようになります。 #f# 近く #（r、s）、# どれが 接線 に #f# で #（r、s）# 今、私たちはどこかに着いています。
#0 =（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）#
他の近似も考えられます。
#f_2（x、y）=（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）+（x-r）^ 2#
#f_3（x、y）=（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）+（x-r）^ 2 +（x-r）（y-s）#
これらは高次の接線で、大学の数学の学生がこれまで到達することはほとんどありませんでした。私たちはすでに大学の計算法を超えています。
より多くの近似があります、しかし、私はこれが長くなっていると警告されています。代数Iだけを使って微積分を行う方法を学んだので、問題をやってみましょう。
接線がに平行になる点を見つけたい。 #バツ# 軸と #y# 軸。
で接線が見つかりました #（r、s）# です
#0 =（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）#
に平行 #バツ# 軸は方程式を意味します #y =テキスト{定数}#。だから係数は #バツ# ゼロでなければなりません：
#2r + s = 0#
#s = -2r#
#（r、s）# 曲線上にある #f（r、s）= 0#:
#r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0#
#r ^ 2 + r（-2r）+（-2r）^ 2 - 7 = 0#
#r = pm sqrt {7/3}#
から #s = -2r# ポイントは
#（ - sqrt {7/3}、2sqrt {7/3}）および（sqrt {7/3}、-2sqrt {7/3}）#
同様にy軸に平行 #2秒+ r = 0# 問題の対称性のため、これはxとyを入れ替えるだけです。だから他のポイントは
#（ - 2sqrt {7/3}、sqrt {7/3}）および（2sqrt {7/3}、-sqrt {7/3}）#
チェック。
確認するには？アルファプロットをしましょう。
x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7、x = -sqrt {7/3}、y = 2平方根{7/3}、x = 2平方根{7/3}、y = -sqrt {7/3}をプロットする}
いいね。代数曲線上の計算中学生にはかなりいいです。
