回答：
#1/2アルクタン（x-1）+（x-1）/（2（x ^ 2-2x + 2））+ c#
説明：
だからここに私たちは積分があります：
#int 1 /（x ^ 2-2x + 2）^ 2 dx#
そして二次逆数の形は、三角法による代入がここではうまくいくことを示唆しているようです。だから最初に得るために広場を完成させなさい：
#x ^ 2-2x + 2 =（x-1）^ 2 + 1#
それから置換を適用します #u = x-1# 線形を削除するには：
#（du）/ dx = 1#
#rArr du = dx#
だから我々は安全に不要な副作用なしで変数を変更することができます：
#int 1 /（x ^ 2-2x + 2）^ 2 dx#
#= int 1 /（（x-1）^ 2 + 1）^ 2 dx#
# - = int 1 /（u ^ 2 + 1）^ 2 du#
さて、これは三角関数代入を実行するための理想的な形式です。 #u ^ 2 + 1# ピタゴラスのアイデンティティを示唆 #1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta#だから、私たちは置換を適用します #u = tantheta# 分母を単純化するために：
#（du）/（d theta）= sec ^ 2 theta#
#rArr du = sec ^ 2 theta d theta#
そのため積分は次のようになります。
#int 1 /（sec ^ 2 theta）^ 2 * sec ^ 2 theta d theta#
#= int 1 /（sec ^ 2 theta）d theta#
# - = int cos ^ 2シータdシータ#
今、私達はのために倍角の公式を使用する #cos# これをより扱いやすくするために：
#cos（2θ）= 2cos ^2θ - 1#
#hAr cos ^2θ= 1/2（cos（2θ）+ 1）#
それを積分に入れる：
#1/2 int cos（2 theta）+ 1 d theta#
#= 1/2（シータ+ 1/2 sin（2シータ））+ c# （そしてこれをダブルアングルの式で #罪#)
#= 1/2 theta + 1/2 sinthetacostheta + c#
今、 #x-1 = u = tan theta#
#rArr theta = arctan（x-1）#
#1 +（x-1）^ 2 = sec ^ 2 theta#
#rArr cos theta = 1 / sqrt（x ^ 2 - 2 x + 2）#
#sin theta = tan theta * cos theta#
#rArr sin theta =（x-1）/（sqrt（x ^ 2 + 2x + 2）#
#： sintheta * costheta =（x-1）/（x ^ 2-2x + 2）#
最後に、要点を説明します。
#int 1 /（x ^ 2-2x + 2）^ 2 dx#
#= 1/2 arctan（x-1）+（x-1）/（2（x ^ 2-2x + 2））+ c#
