Nのような最小の整数nは何ですか。 = m cdot 10 ^（2016）？

回答：

#n = 8075#

説明：

みましょう #v_p（k）# の多重度 #p# の要因として #k#。あれは、 #v_p（k）# そのような最大の整数 #p ^（v_p（k））| k#.

所見：

• のために ZZで#k ^ +# そして #p# プライム、私たちは #v_p（k！）= sum_（i = 1）^ k v_p（i）#

  （これは帰納法で簡単に証明できます）

• 任意の整数 #k> 1#、 我々は持っています #v_2（k！）> v_5（k！）#.

  （これは直感的にわかります。 #2# の等倍の倍数よりも頻繁に発生する #5#そして、同様の議論を用いて厳密に証明されるかもしれません）

• にとって #j、ZZのk ^ +#、 我々は持っています #j | k <=> v_p（j）<= v_p（k）# 任意の素数 #p# の #j#.

先に進むと、私たちの目標は最小の整数を見つけることです。 #n# そのような #10 ^ 2016 | n！#。として #10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016#それから、3回目の観測までに、 #2016 <= v_2（n！）# そして #2016 <= v_5（n！）#。 2番目の観察は後者が前者を意味することを意味します。したがって、最小の整数を見つけることで十分です。 #n# そのような #v_5（n！）= sum_（i = 1）^ nv_5（i）> = 2016#.

見つけるには #n# 私達は私達が計算することを可能にする観察をします #v_5（5 ^ k！）#.

の間に #1# そして #5 ^ k#、 がある #5 ^ k / 5# の倍数 #5#それぞれが少なくとも貢献している #1# 合計に #sum_（i = 1）^（5 ^ k）v_5（i）#。もあります #5 ^ k / 25# の倍数 #25#それぞれが追加の #1# 最初のカウントの後の合計に。の倍数に達するまで、この方法で進むことができます。 #5 ^ k# （これは #5 ^ k# 貢献している） #k# 合計に回。このように合計を計算すると、

#v_5（5 ^ k！）= sum_（i = 1）^（5 ^ k）v_5（i）= sum_（i = 1）^（k）5 ^ k / 5 ^ i = sum_（i = 1） ^ k5 ^（ki）= sum_（i = 0）^（k-1）5 ^ i =（5 ^ k-1）/（5-1）#

したがって、我々はそれを見つけます #v_5（5 ^ k！）=（5 ^ k-1）/ 4#

最後に、見つけます #n# そのような #v_5（n！）= 2016#。計算すれば #v_5（5 ^ k！）# のいくつかの値に対して #k#、 我々は気づく

#v_5（5 ^ 1）= 1#

#v_5（5 ^ 2）= 6#

#v_5（5 ^ 3）= 31#

#v_5（5 ^ 4）= 156#

#v_5（5 ^ 5）= 781#

として #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, #n# 2つの「ブロック」が必要 #5^5#2つ #5^4#4つ #5^3#、そして3つ #5^2#。したがって、我々は得る

#n = 2（5 ^ 5）+ 2（5 ^ 4）+ 4（5 ^ 3）+ 3（5 ^ 2）= 8075#

コンピュータはすぐにそれを確認できます #sum_（i = 1）^（8075）v_5（i）= 2016#。このように #10^2016 | 8075!#、そして #5|8075!# 多重度 #2016# そして #5|8075#それより小さい値では足りないことは明らかです。