その電力セットが分野であることを証明しますか？

回答：

集合のべき乗集合は、和集合と交差の自然な演算のもとでは可換環ですが、逆元がないので、これらの演算のもとでは体ではありません。

任意のセットを考える #S#、電源セットを検討 #2 ^ S# の #S#.

これは労働組合の自然な活動をしている #uu# これは追加のように動作し、アイデンティティを持ちます。 #O /# と交差点 #nn# これはアイデンティティとの掛け算のように振る舞います #S#.

さらに詳細に：

#2 ^ S# の下で閉じられている #uu#

もし #A、B in 2 ^ S# それから #2 ^ S#のuU B
アイデンティティがあります #O / in 2 ^ S# にとって #uu#

もし 2 ^ S#の#A それから #A uu O / = O / uu A = A#
#uu# 連想的です

もし #A、B、C in 2 ^ S# それから #A uu（B uu C）=（A uu B）uu C#
#uu# 可換です

もし #A、B in 2 ^ S# それから #A uu B = B uu A#
#2 ^ S# の下で閉じられている #nn#

もし #A、B in 2 ^ S# それから #A nn B in 2 ^ S#
アイデンティティがあります 2 ^ S#の#S にとって #nn#

もし 2 ^ S#の#A それから #A nn S = S nn A = A#
#nn# 連想的です

もし #A、B、C in 2 ^ S# それから #A nn（B nn C）=（A nn B）nn C#
#nn# 可換です

もし #A、B in 2 ^ S# それから #A nn B = B nn A#
#nn# 左右に分布している #uu#

もし #A、B in 2 ^ S# それから #A nn（B uu C）=（A nn B）uu（A nn C）#

そして #（A uu B）nn C =（A nn C）uu（B nn C）#

そう #2 ^ S# 加法可換環であるために必要なすべての公理を満たす #uu# と掛け算 #nn#.

もし #S = O /# それから #2 ^ S# 1つの要素があります #O /#したがって、それは明確な加法的および乗法的な恒等式を持つことができず、したがって分野ではありません。

それ以外の場合は #S# 下に逆行列がない #uu# そして #O /# 下に逆行列がない #nn#。そう #2 ^ S# 逆要素がないため、フィールドを形成しません。