回答：
ドメイン：全実線
範囲： #-0.0757,0.826#
説明：
この質問は2つの方法のうちの1つで解釈することができます。実線のみを扱うことを期待する #RR#あるいは他の複素平面も #CC#。の用法 #バツ# 変数としては、実際の行だけを扱っていることを意味しますが、2つのケースには興味深い違いがあります。
のドメイン #f# 考慮される数値セット全体から、関数が無限大に爆発する原因となるポイントをすべて差し引いたものです。これは分母が #x ^ 2 + 4 = 0#すなわちいつ #x ^ 2 = -4#。この方程式には実際の解はありません。したがって、実数線で作業している場合、領域は全区間です #（ - oo、+ oo）#。分子と分母の先行項を比較して関数の無限大の限界を考慮すると、両方の無限大でゼロになる傾向があることがわかります。したがって、これらをその区間に追加して閉じることができます。 # - oo、+ oo#.
方程式 #x ^ 2 = -4# ただし、2つの複雑な解決策があります。 #x = + - 2i#。複素平面全体を考えると、ドメインは平面全体からこれら2つの点を引いたものです。 #CC# #{+ - 2i}#。実数と同じように、望むなら、無限に追加することができます。
の範囲を決定する #f# そのドメイン上で最大値と最小値を見つける必要があります。複素平面上でこれらに類似するものを決定することは、一般に、異なる数学的ツールを必要とする異なる種類の問題であるため、ここでは実数についてのみ説明します。
商の規則で一階微分を取る：
#f '（x）=（（x ^ 2 + 4）-2x（x + 3））/（x ^ 2 + 4）^ 2 =（ - x ^ 2-6x + 4）/（x ^ 2 + 4）^ 2#
関数 #f# 極値または変曲点に達すると、 #f '（x）= 0#すなわちいつ #-x ^ 2-6x + 4 = 0#.
これを二次式で解きます。
#x = -1 / 2（6 + - sqrt（52））= - 3 + - sqrt（13）#。そのため、関数にはそのような点が2つあります。
これらの点を、の二次導関数でそれらの値を調べることによって特徴付けます。 #f#これについても、商の規則に従って取ります。
#f ''（x）=（（ - 2x-6）（x ^ 2 + 4）^ 2 - （ - x ^ 2-6x + 4）* 4x（x ^ 2 + 4））/（x ^ 2 +4）^ 4#
#=（ - 2（x + 3）（x ^ 2 + 4）+ 4x（x ^ 2 + 6x-4））/（x ^ 2 + 4）^ 3#
ゼロに設定することが入力数を見つけるために私達がちょうど解いた方程式であるので、私達は私達の一次微分根計算から分子の二番目の項がこれら二つの点に対してゼロであることを知っています。
だから、それに注目して #（ - 3 + -sqrt（13））^ 2 = 22bar（+）6sqrt（13）#:
#f ''（ - 3 + -sqrt（13））=（ - 2（-3 + -sqrt（13）+ 3）（22bar（+）6sqrt（13）+ 4））/（22bar（+）6sqrt （13）+ 4）^ 3#
#=（bar（+）2 sqrt（13）（26 bar（+）6 sqrt（13）））/（26 bar（+）6 sqrt（13））^ 3#
この表現の符号を決める際に、 #26> 6平方フィート（13）#。比較するために両側を正方形にします。 #26^2=676#, #（6sqrt（13））^ 2 = 36 * 13 = 468#。そう #26-6sqrt（13）# ポジティブ（そして #26 + 6平方フィート（13）# なおさら）。
したがって、式全体の符号は次のようになります。 #bar（+）# その前に #x = -3-sqrt（13）# 持っている #f ''（x）> 0# （そしてそれ故に最小の関数です）そして #x = -3 + sqrt（13）# 持っている #f ''（x）<0# （そしてそれ故に関数の最大値です）。関数は無限大でゼロになる傾向があることに注意したので、関数の形を完全に理解しました。
だから今範囲を取得するには、最小点と最大点で関数の値を計算する必要があります #x = -3 + -sqrt（13）#
それを思い出します #f（x）=（x + 3）/（x ^ 2 + 4）#、 など
#f（-3 + -sqrt（13））=（ - 3 + -sqrt（13）+ 3）/（22bar（+）6sqrt（13）+ 4）=（+ - sqrt（13））/（26bar （+）6平方フィート（13））.
だから、実線で #RR# 関数 #f（x）# 範囲内の値を取ります # - sqrt（13）/（26 + 6sqrt（13））、sqrt（13）/（26-6sqrt（13））#数値的に評価すれば、 #-0.0757,0.826#で得られた3つの有効数字 #バツ# 値 #-6.61# そして #0.606# （3秒）
健全性チェックとして関数のグラフをプロットする：
グラフ{（x + 3）/（x ^ 2 + 4）-15、4.816、-0.2、1}
回答：
ドメイン： RR#の#x
範囲： #f（x）in -0.075693909、+ 0.825693909色（白）（ "xxx"）# （約）
説明：
与えられた
#色（白）（ "XXX"）f（x）=（x + 3）/（x ^ 2 + 4）#
ドメイン
の ドメイン のすべての値 #バツ# そのために #f（x）# 定義されています。
多項式を多項式で割ったものとして表される任意の関数に対して、その関数はのすべての値に対して定義されます。 #バツ# ここで、除数多項式はゼロに等しくありません。から #x ^ 2> = 0# のすべての値に対して #バツ#, #x ^ 2 + 4> 0# のすべての値に対して #バツ#;あれは #x！= 0# のすべての値に対して #バツ#;関数はすべてのRealに対して定義されています（#RR#の値 #バツ#.
範囲
の 範囲 開発するためにもう少し面白いです。
連続関数に限界がある場合、それらの限界になる点での関数の導関数はゼロになります。
これらのステップのいくつかはささいなことかもしれませんが、私たちはデリバティブのためのかなり基本的な原則からこのプロセスを通して働きます。
1 デリバティブの指数規則
もし #f（x）= x ^ n# それから #（d f（x））/（dx）= nx ^（n-1）#
2 デリバティブの合計規則
もし #f（x）= r（x）+ s（x）# それから #（ｄ ｆ（ｘ））／（ｄｘ） （ｄ ｒ（ｘ））／（ｄｘ） （ｄ ｓ（ｘ））／（ｄｘ）#
3 デリバティブの商品規則
もし #f（x）= g（x）* h（x）# それから #（ｄ ｆ（ｘ））／（ｄｘ） （ｄ ｇ（ｘ））／（ｄｘ）＊ ｈ（ｘ） ｇ（ｘ）＊（ｄ ｈ（ｘ））／（ｄｘ）#
4 デリバティブの連鎖ルール
もし #f（x）= p（q（x））# それから #（ｄ ｆ（ｘ））／（ｄｘ） （ｄ ｐ（ｑ（ｘ）））／（ｄ ｑ（ｘ））＊（ｄ ｑ（ｘ））／（ｄｘ）#
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
与えられた関数に対して #f（x）=（x + 3）/（x ^ 2 + 4）#
これは次のように書くことができます。 #f（x）=（x + 3）*（x ^ 2 + 4）^（ - 1）#
3で知っている
#色（白）（ "XXX"）色（赤）（（df（x））/（dx））=色（石灰）（（d（x + 3））/（dx））*色（青） （（x ^ 2 + 4）^（ - 1））+色（青）（（x + 3））*色（マゼンタ）（（d（（x ^ 2 + 4）^（ - 1））） ）/（dx））#
1までに
#色（白）（ "XXX"）（d（x + 3））/（dx）=（dx）/（dx）+（d（3 * x ^ 0））/（dx）#
そして2
#色（白）（ "XXX"）色（石灰）（（d（x + 3））/（dx））= 1 + 0 =色（石灰）（1）#
4までに
#色（白）（ "XXX"）色（マゼンタ）（（d（x + 4）^（ - 1））/（dx））=（d（x + 4）^（ - 1））/（d （x + 4））*（d（x + 4））/（dx）#
そして1と2
#色（白）（ "XXXXXXXX"）= - 1（x ^ 2 + 4）^（ - 2）* 2x#
または、簡略化：
#色（白）（ "XXXXXXXX"）=色（マゼンタ）（ - （2x）/（（x ^ 2 + 4）^ 2））#
くれて
#色（白）（ "XXX"）色（赤）（（df（x））/（dx））=色（緑）1 *色（青）（（x + 4）^（ - 1） ）+カラー（青）（（x + 3））*カラー（マゼンタ）（（ - 2x）/（（x ^ 2 + 4）^ 2）#
これは次のように単純化できます。
#色（白）（ "XXX"）色（赤）（（d f（x））/（dx）=（ - x ^ 2-6x + 4）/（（x ^ 2 + 4）^ 2））#
前述したように（逆方向）、これは制限値が次の場合に発生することを意味します。
#色（白）（ "XXX"）（ - x ^ 2-6x + 4）/（（x ^ 2 + 4）^ 2）= 0#
#色（白）（ "XXX"）rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0#
それから二次式を使って（これを見てください、ソクラテスはすでにこの答えの長さについて不満を言っています）
いつ
#色（白）（ "XXX"）x = -3 + -sqrt（13）#
苦労を長引かせるのではなく、これらの値を電卓（またはスプレッドシート）に差し込んで制限を取得します。
#色（白）（ "XXX"）f（-3-sqrt（13））~~ -0.075693909#
そして
#色（白）（ "XXX"）f（-3 + sqrt（13））~~ 0.825693909#
回答：
範囲を見つけるためのより簡単な方法。ドメインは RR#の#x。範囲は #y in -0.076、0.826#
説明：
ドメインは RR#の#x として
RR#の#AA x、分母 #x ^ 2 + 4> 0#
みましょう #y =（x + 3）/（x ^ 2 + 4）#
クロス乗算
#=>#, #y（x ^ 2 + 4）= x + 3#
#yx ^ 2-x + 4y-3 = 0#
これは、2次方程式です。 #バツ#
判別式が #Delta> = 0#
#Delta =（ - 1）^ 2-4 *（y）（4y-3）= 1-16y ^ 2 + 12y#
したがって、
#1-16y ^ 2 + 12y> = 0#
#=>#, #16y ^ 2-12y-1 <= 0#
この不等式の解は
（12-sqrt（（ - 12）^ 2-4 *（ - 1）* 16））/（32）の#y、（（-12）+ sqrt（（ - 12）^ 2-4 *（ - ） 1）* 16））/（32）#
#y in （12-sqrt（208））/ 32、（12 + sqrt（208））/ 32#
#y in -0.076、0.826#
グラフ{（x + 3）/（x ^ 2 + 4）-6.774、3.09、-1.912、3.016}
