数sqrt（1 + sqrt（2 + ... + sqrt（n）））が1より大きい自然数nに対して有理数でないことを証明しますか？

回答：

説明を参照してください…

説明：

と仮定します。

#sqrt（1 + sqrt（2 + … + sqrt（n）））# 合理的です

それでは、その広場は合理的でなければなりません。

#1 + sqrt（2 + … + sqrt（n））#

したがって、そうです：

#sqrt（2 + sqrt（3 + … + sqrt（n）））#

次のものが合理的でなければならないことを見つけるために、二乗して減算することができます。

#{（sqrt（n-1 + sqrt（n）））、（sqrt（n））：}#

それゆえ #n = k ^ 2# 正の整数の場合 #k> 1# そして：

#sqrt（n-1 + sqrt（n））= sqrt（k ^ 2 + k-1）#

ご了承ください：

#k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 =（k + 1）^ 2#

それゆえ #k ^ 2 + k-1# 整数の二乗でもなく、 #sqrt（k ^ 2 + k-1）# 不合理であり、という私たちの主張と矛盾します。 #sqrt（n-1 + sqrt（n））# 合理的です。

回答：

下記参照。

説明：

想定して

#sqrt（1 + sqrt（2 + cdots + sqrt（n）））= p / q# と #p / q# 我々は持っている非還元性

#sqrtn =（cdots（（（（p / q）^ 2-1）^ 2-2）^ 2 cdots - （n-1））= P / Q#

この結果によると、正の整数の平方根は有理数であるため、これは不合理です。