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みましょう #a = p / q# どこで #p# そして #q# 正の整数です。
#1ltp / q# したがって #qltp#. #p / qlt2# したがって #plt2q#。だから #qltplt2q#.
#a + 1 / a = p / q + q / p =（pp）/（qp）+（qq）/（pq）=（p ^ 2 + q ^ 2）/（pq）=（p ^ 2 +） 2pq + q ^ 2-2pq）/（pq）=（p + q）^ 2 /（pq） - （2pq）/（pq）=（p + q）^ 2 /（pq）-2#
#（q + q）^ 2 /（qq）lt（p + q）^ 2 /（pq）lt（2q + q）^ 2 /（2qq）#*
#（2q）^ 2 / q ^ 2lt（p + q）^ 2 /（pq）lt（3q）^ 2 /（2q ^ 2）#
#（4q ^ 2）/ q ^ 2lt（p + q）^ 2 /（pq）lt（9q ^ 2）/（2q ^ 2）#
#4lt（p + q）^ 2 /（pq）lt 9/2#
#4-2lt（p + q）^ 2 /（pq）-2lt9 / 2-2#
#2lt（p + q）^ 2 /（pq）-2lt5 / 2#
#2lta + 1 / alt5 / 2#
#5 / 2lt6 / 2#
#5 / 2lt3#
#2lta + 1 / alt3#
~~今後のより高度なトピック~~
*これは #p# 増加します、 #（p + q）^ 2 /（pq）# 増加します。これは、直感的に確認できます。 #y =（x + q）^ 2 /（xq）# に #x in（q、2q）# のさまざまな正の値に対して #q#または下記の微積分法によって。
~
#del /（delp）（p + q）^ 2 /（pq） = 1 / qdel /（delp）（p + q）^ 2 / p = 1 / q（pdel /（delp）（ p + q）^ 2 - （p + q）^ 2del /（delp）p）/ p ^ 2 = 1 / q（p 2（p + q） - （p + q）^ 2 1）/ p ^ 2 = 1 / q（2p（p + q） - （p + q）^ 2）/ p ^ 2 =（（2p ^ 2 + 2pq） - （p ^ 2 + 2pq + q ^） 2））/（p ^ 2q）=（p ^ 2-q ^ 2）/（p ^ 2q）#.
に #p in（q、2q）#:
から #pgtqgt0#, #p ^ 2gtq ^ 2# したがって #p ^ 2-q ^ 2gt0#.
から #q> 0#, #p ^ 2qgt0#
から #p ^ 2-q ^ 2gt0# そして #p ^ 2qgt0#, #（p ^ 2-q ^ 2）/（p ^ 2q）gt0#
から #del /（delp）（p + q）^ 2 /（pq） =（p ^ 2-q ^ 2）/（p ^ 2q）# そして #（p ^ 2-q ^ 2）/（p ^ 2q）gt0#, #del /（delp）（p + q）^ 2 /（pq） gt0#
だから #（p + q）^ 2 /（pq）# 定数のために増加しています #q# そして #qltplt2q# なぜなら #del /（delp）（p + q）^ 2 /（pq）# ポジティブです。
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ここで制約（1）：
#1 <a <2#
制約（2）：
逆定理により、
#1/1> 1 / a> 1/2#
#1> a> 1/2#
制約1では両側に1を加える
#1 + 1 <a + 1 <2 + 1#
#2 <a + 1 <3#
#色（赤）（a + 1 <3）#
同じ制約で1/2を追加
#（1 + 1/2）<（a + 1/2）<（2 + 1/2）#
もう一度注意してください、 #2 <2+1/2#
そう #a + 1/2# 2未満でなければなりません
#色（赤）（a + 1/2）<2#
したがって、制約2では、
#1> a> 1/2#
両側にを追加
#1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a#
#3> a + 1 / a> 2#
#2 <a + 1 / a <3#
そうしたのは、 #a + 1 <3#
そう #a + 1 / a# 3未満でなければなりません。
再び #a + 1/2 <2# しかしこの制約では #a + 1 / a> a + 1/2#
そう、 #a + 1 / a# 2より大きくなければなりません。
したがって、 #1> 1 / a> 1 2#
両側にを追加することによって、
#1 + a> a + 1 / a> a + 1/2#
#3> a + 1 / a> 2#
#2 <a + 1 / a <3# 証明された
