もしuが奇数の整数ならば、方程式x ^ 2 + x-u = 0は整数の解がないことを証明しますか？

回答：

ヒント1：彼が方程式であるとしましょう #x ^ 2 + x-u = 0# と #u# 整数は整数解をもつ #n#。それを見せて #u# 偶数です。

説明：

もし #n# 整数がある解です #m# そのような

#x ^ 2 + x-u =（x-n）（x + m）#

どこで #nm = u# そして #m-n = 1#

しかし、2番目の方程式はそれを必然的に伴います #m = n + 1#

今、両方 #m# そして #n# 整数なので、 #n#, #n + 1# 偶数で #nm = u# 偶数です。

命題

もし #u# 奇数の整数であれば、 #x ^ 2 + x - u = 0# 整数である解がありません。

証明

整数解が存在するとします #m# 方程式の

#x ^ 2 + x - u = 0#

どこで #u# 奇数の整数です。考えられる2つのケースを検討する必要があります。

#m# 奇数です。または

#m# 偶数です。

まず、次の場合を考えてみましょう。 #m# が奇数で、整数が存在する #k# そのような：

#m = 2k + 1#

今から #m# これは、私たちの方程式の根源です。

#m ^ 2 + m - u = 0#

#：。 （2k + 1）^ 2 +（2k + 1） - u = 0#

#：。 （4k ^ 2 + 4k + 1）+（2k + 1） - u = 0#

#：。 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0#

#：。 u = 4k ^ 2 + 6k + 2#

#：。 u = 2（2k ^ 2 + 3k + 1）#

そして矛盾があります #2（2k ^ 2 + 3k + 1）# 偶数ですが #u# 変です。

次に、次の場合を考えてみましょう。 #m# 偶数であり、整数が存在する #k# そのような：

#m = 2k#

同様に、 #m# これは、私たちの方程式の根源です。

#m ^ 2 + m - u = 0#

#：。 （2k）^ 2 +（2k） - u = 0#

#：。 4k ^ 2 + 2k - u = 0#

#：。 u = 4k ^ 2 + 2k#

#：。 u = 2（2k ^ 2 + k）#

また、矛盾があります。 #2（2k ^ 2 + k）# 偶数ですが #u# 変です。

だから我々は方程式の整数解がないことを証明した #x ^ 2 + x - u = 0# どこで #u# 奇数の整数です。

それ故にその命題は証明されている。 QED

回答：

下記参照。

説明：

もし #x ^ 2 + x-u = 0# それから

#x（x + 1）= u# それなら #バツ# 整数です。 #x（x + 1）# 偶然であり、矛盾している #u# 仮説によっては奇妙です。